抛物线的标准方程及图象
共391题

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抛物线的标准方程及图象
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题型：填空题

填空题

直角坐标平面上点P与点F（2，0）的距离比它到直线x+4=0的距离小2，则点P的轨迹方程是______．

正确答案

设直角坐标平面上动点P的坐标为（x，y）

则点P到点F（2，0）的距离为

点P到直线x+4=0的距离|x+4|

∵点P与点F（2，0）的距离比它到直线x+4=0的距离小2，

∴+2=|x+4|

即=|x+2|

整理得：y2=8x

故答案为：y2=8x

题型：简答题

简答题

设顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线过点P（2，4），过P作抛物线的动弦PA，PB，并设它们的斜率分别为kPA，kPB．

（1）求抛物线的方程；

（2）若kPA+kPB=0，求证直线AB的斜率为定值，并求出其值；

（3）若kPA•kPB=1，求证直线AB恒过定点，并求出其坐标．

正确答案

（1）依题意，可设所求抛物线的方程为y2=2px（p＞0），

因抛物线过点（2，4），故42=4p，p=4，抛物线方程为y2=8x．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则kPA===，

同理kPB=，kAB=．

∵kPA+kPB=0，

∴+=0，∴=，y1+4=-y2-4，y1+y2=-8

∴kAB=-1．

即直线AB的斜率恒为定值，且值为-1．

（3）∵kPAkPB=1，

∴•=1，

∴y1y2+4（y1+y2）-48=0．

直线AB的方程为y-y1=(x-)，即（y1+y2）y-y1y2=8x．

将y1y2=-4（y1+y2）+48代入上式得

（y1+y2）（y+4）=8（x+6），该直线恒过定点（-6，-4），命题得证．

题型：简答题

简答题

已知直线y=x+b与抛物线y2=2px（p＞0）相交于A、B两点，若OA⊥OB，（O为坐标原点）且S△AOB=2，求抛物线的方程．

正确答案

设A（x1，y1）、B（x2，y2）

由得x2-2（p-b）x+b2=0

则x1+x2=2（p-b），x1x2=b2

所以y1+y2=2p，y1y2=2pb

又因为OA⊥OB，

所以•=-1即==-1

所以p=-，所以x1+x2=-3b，y1+y2=-b，y1y2=-b2

又因为S△OAB=2，|AB|=b，原点O到AB的距离d=

所以|AB|d=2得b=±2，所以p=±1，

又因为p＞0，所以p=1，y2=2x，

则抛物线的方程为y2=2x．

题型：填空题

填空题

下列结论：

①当a为任意实数时，直线（a-1）x-y+2a+1=0恒过定点P，则过点P且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是x2=y；

②已知双曲线的右焦点为（5，0），一条渐近线方程为2x-y=0，则双曲线的标准方程是-=1；

③抛物线y=ax2（a≠0）的准线方程为y=-；

④已知双曲线+=1，其离心率e∈（1，2），则m的取值范围是（-12，0）．

其中所有正确结论的个数是______．

正确答案

①整理直线方程得（x+2）a+（1-x-y）=0，可知直线过定点（-2，3），符合条件的方程是x2=y，则①正确

②依题意知=2，a2+b2=25求得a=，b=2，故可知结论②正确．

③整理抛物线方程得x2=y，根据抛物线性质可知准线方程为y=-故③正确．

④离心率1＜e=＜2，解得-12＜m＜0，又m＜0，，故m的范围是-12＜m＜0，④正确，

故正确结论数为4

故答案为4

题型：简答题

简答题

已知椭圆+=1（a＞1）的左右焦点为F1，F2，抛物线C：y2=2px以F2为焦点且与椭圆相交于点M（x1，y1）、N（x2，y2），点M在x轴上方，直线F1M与抛物线C相切．

（1）求抛物线C的方程和点M、N的坐标；

（2）设A，B是抛物线C上两动点，如果直线MA，MB与y轴分别交于点P，Q．△MPQ是以MP，MQ为腰的等腰三角形，探究直线AB的斜率是否为定值？若是求出这个定值，若不是说明理由．

正确答案

（1）由椭圆方程得半焦距c==1．

∴椭圆焦点为F1（-1，0），F2（1，0）．

又抛物线C的焦点为(，0)，∴=1，解得p=2．∴抛物线C的方程：y2=4x．

∵点M（x1，y1）在抛物线C上，

∴=4x1，直线F1M的方程为y=(x+1)．

代入抛物线C得(x+1)2=4x(x1+1)2，即4x1(x+1)2=4x(x1+1)2．

∴x1x2-(+1)x+x1=0

∵F1M与抛物线C相切，∴△=(+1)2-4=0，∴x1=1．

∴M、N的坐标分别为（1，2）、（1，-2）．

（2）直线AB的斜率为定值-1．

证明如下：设A(，y1)，B(，y2)．

则kMA==，同理kMB=，

∵△MPQ是以MP，MQ为腰的等腰三角形，∴kMA=-kMB．

即+=0，

化为y1+y2+4=0得y1+y2=-4．

∴kAB====-1．

所以直线AB的斜率为定值-1．

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