热门试卷

（1）由题意可设抛物线的方程为y2=2px，则由抛物线的定义可得+=1，即p=1，

所以抛物线的方程为 y2=2x．

（2）由题意知直线PQ与x轴不平行，设PQ所在直线方程为x=my+n，代入y2=2x中得 y2-2my-2n=0．

所以y1+y2=2m，y1y=-2n，其中y1，y2分别是P，Q的纵坐标，

因为MP⊥MQ，所以kMP•kMQ=-1．

即•=-1，所以（y1+y0）（y2+y0）=-4．

y1•y2+(y1+y2)y0+y02+4=0，（-2n）+2my0+2x0+4=0，即n=my0+x0+2．

所以直线PQ的方程为x=my+my0+x0+2，

即x=m（y+y0）+x0+2，它一定过定点（x0+2，-y0）．

（3）假设N（x0，y0）为满足条件的点，则由（2）知，点（x0+2，-y0）在直线x+my+1=0上，

所以x0+2-my0+1=0，(x0，y0)是方程组的解，

消去x得y2-2my+6=0，△=4m2-24≥0所以存在点N满足条件．

（Ⅰ）∵椭圆mx2+4y2=1的离心率为，

∴=，∴m=2

∴2x2+4y2=1的右焦点坐标为（，0）

∵抛物线C：y2=2px（p＞0），其焦点是椭圆mx2+4y2=1的右焦点，

∴抛物线C的方程为y2=2x；

（Ⅱ）由题意，设l的方程为y=kx+2，设M（x1，y1）、N（x2，y2），

直线方程代入抛物线方程可得k2x2+（4k-2）x+4=0，则x1+x2=-，x1x2=

∴y1y2=8-

∵以线段MN为直径的圆过原点，∴•=0

∴x1x2+y1y2=0

∴+8-=0

∴k=-1

∴l的方程为y=-x+2，即x+y-2=0；

（Ⅲ）设圆的方程为x2+y2=t，与抛物线方程联立，可得x2+2x-t=0

设A（x0，），则t=x02+2x0，B（0，x02+2x0）

∴直线AB的方程为y-（x02+2x0）=（x-0）

令y=0，则x=．

∴Q（，0）

（1）将（1，-2）代入y2=2px，

得（-2）2=2p•1，

所以p=2；

故所求的抛物线C的方程为y2=4x．

（2）由，

得：ky2-4y+4（2k+1）=0，

①当k=0时，y=1代入y2=4x，得x=，

这时直线l与抛物线C相交，只有一个公共点(，1)；

②当k≠0时，△=16-16k（2k+1）=0，

解得k=-1，或k=，

此时直线l与抛物线C相切，只有一个公共点

综上，当k=0，或k=-1，或k=时，直线l与抛物线C只有一个公共点．

（1）由题意可得，点P到F（1，0）的距离与到直线x=-1的距离相等

由抛物线的定义可得点的轨迹是以F（1，0）为焦点，以x=-1为准线的抛物线

抛物线的方程为：y2=4x

（2）过M作MF垂直于准线l：x=-1．垂足为点P，由抛物线的定义可知MP=MF

所以MA+MF=MA+MF，过点A作垂足于准线的直线与抛物线相交的点记为M时，

所求的线段和最小，此时MA+MF=4，M（1，2）