热门试卷

（1）设N（x，y），则P（2x，0），Q（0，2y），=(8 ， 2y)，=(-2x ， 2y)．

∵⊥，∴-16x+4y2=0．

∴动点N的轨迹方程为y2=4x．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则D（x1，-y1）．

由=λ，知（x1+1，y1）=λ（x2+1，y2），

即

要证明=-λ，只要证明（x1-1，-y1）=-λ（x2-1，y2），

即只要证明

由②知④成立．由①知，要证③，只要证x1-1=-(x2-1)．

只要证（x1-1）（x2+1）+（x1+1）（x2-1）=0，只要证x1x2=1．

∵AB过点H（-1，0），∴可设直线AB的方程为y=k（x+1），

代入y2=4x，并整理得k2x2+（2k2-4）x+k2=0．

由韦达定理，知x1x2==1．

∵③，④都成立，∴=-λ．

（3）设E( ， y3)，E( ， y4)，则

直线EK的方程为 4x-（y3+y4）y+y3y4=0．

∵EK过点F（1，0），∴4-0+y3y4=0，∴y3y4=-4．

∵G与E关于x轴对称，∴G( ， -y3)．

∴直线GK的方程为4x-（-y3+y4）y-y3y4=0，

∵y3y4=-4，∴GK的方程为4x-（-y3+y4）y+4=0，

∴直线GK过定点（-1，0）．

（I）∵抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F（0，p）

∴0-p+1=0，可得p=2，

因此抛物线C的方程是x2=4y；

（II）由，消去y得x2-x-1=0

设P（x1，y1），Q（x2，y2）

∴x1+x2=4，可得中点M的横坐标为=2（x1+x2）=2

代入直线l方程，得纵坐标为yM=xM+1=3

即线段PQ中点M的坐标（2，3）．

（Ⅰ）依题意，可设抛物线C的方程为：y2=2px（p＞0），

∵抛物线C过点（1，2），

∴22=2p，解得p=2．

∴抛物线C的方程为：y2=4x．

（Ⅱ）关于抛物线C的类似命题为：过抛物线y2=4x的焦点F（1，0）作与x轴不垂直的任意直线l，

交抛物线线于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则为定值，且定值为2．

证明如下：

设直线AB的方程为x=ty+1，t≠0，

代入y2=4x，消去x，得y2-4ty-4=0．

∵△=16t2+16＞0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4t，y1y2=-4，

x1+x2=t（y1+y2）+2=4t2+2，

∴线段AB中点P的坐标为（2t2+1，2t），

AB的垂直平分线MP的方程为y-2t=-t（x-2t2-1），

令y=0，解得x=2t2+3，

即M（2t2+3，0），

∴|FM|=2t2+2，

由抛物线定义知，|AB|=x1+x2+2=4t2+4，

∴=2．

（Ⅲ）过抛物线的焦点F作与对称轴不垂直的任意直线l，交抛物线线于A，B两点，线段AB的垂直平分线交对称轴于点M，则为定值，且定值为2．

（1）∵抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，

∴抛物线的方程为标准方程．

又∵点P（4，2）在第一象限，

∴抛物线的方程设为y2=2px，x2=2py（p＞0）．

当抛物线为y2=2px时，则有22=2p×4，故2p=1，y2=x；

当抛物线为x2=2py时，则有42=2p×2，故2p=8，x2=8y．

综上，所求的抛物线的方程为y2=x或x2=8y．

（2）由抛物线方程得其准线方程y=-，根据抛物线定义，点A（m，4）到焦点的距离等于它到准线的距离，即4+=，解得p=；∴抛物线方程为：x2=y，将A（m，4）代入抛物线方程，解得m=±2．