热门试卷

∵原点在直线AB上的射影为点D（2，1），

∴直线AB的斜率为kAB=-2，

∴线AB的方程lAB：y-1=-2（x-2），

整理得：2x+y-5=0…（4分）

将2x=5-y代入y2=2px（p＞0）

得y2+py-5p=0，…（6分）

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程y2+py-5p=0的两根．

∵OA⊥OB，

∴x1x2+y1y2=0，…（8分）

∴y1y2-（y1+y2）+5=0，

∴-5p+p+5=0，

∴p=，

∴y2=x…（12分）

（Ⅰ）因为抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点到准线的距离p=2

所以此抛物线方程为y2=4x

（Ⅱ）由题意，直线AB的斜率存在．F（1，0），设直线AB的方程为y=k（x-1）

由消y，整理得，k2x2-（2k2+4）x+k2=0

△=（2k2+4）2-4k4=16k2+16＞0，

设A（x1，y1），B（x1，y1）则x1+x2=2+，x1•x2=1

因为=λ，所以（x2-1，y2）=λ（1-x1，-y1），于是

由y2=-λy1，得y22=λ2y12⇒4x2=λ2•4x1⇒x2=λ2•x1，

又x1•x2=1，

消x2得λ2•x12=1，

因为x1＞0，所以x1=，从而，x2=λ．

代入x1+x2=2+得，+λ=2+，

令y=+λ=2+，

因为y=+λ在[4，9]上递增，

所以4+≤y=+λ≤9+，即4+≤2+≤9+⇒≤≤⇒≤k2≤，

于是，-≤-k≤-，或≤-k≤

所以直线AB在y轴上截距的取值范围为：[-，-]∪[，]．

（I）由已知条件，可设抛物线的方程为y2=2px，

∵点P（2，4）在抛物线上∴42=2p×2，得p=4，

故所求抛物线的方程是y2=8x．

（II）设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB

则 kPA=(x1≠1)，kPB=(x2≠1)，

∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，∴kPA=-kPB．

由A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，得y12=8x1 （1），y22=8x2 （2），

∴=-，∴y1+4=-（y2+4），∴y1+y2 =-8．

设AB的中点坐标为（x，y），则 y==-4，x===

=． 由题意知，y1＜0，y2＜0，

（-y1）+（-y2）=8＞2，∴y1y2＜16，∴＞=2，即 x＞2，

故线段AB中点的轨迹方程为 y=-4（ x＞2 ）．

（III）由题意得 A（，y1）、B（，y2），故kAP ==，

由于AB⊥AP，∴kAB =-（）．又 KAB==，

∴y12+（y2+4）y1+4y2+64=0．

由△≥0，解得y2≤-12或y2≥20，故点B的纵坐标的取值范围是 （-∞，12]∪[20，+∞）．

（Ⅰ）由=t+（1-t）（t∈R），知点C的轨迹是M、N两点所在的直线，

故点C的轨迹方程是：即y=x-4．

由得x2-12x+16=0．

∴x1x2=16，x1+x2=12

∴y1y2=（x1-4）（x2-4）=x1x2-4（x1+x2）+16=-16

∴x1x2+y1y2=0   故⊥．

（Ⅱ）由题意知：弦所在的直线的斜率不为零．故设弦所在的直线方程为：x=ky+m，

代入 y2=4x 得 y2-4ky-4m=0，∴y1+y2=4k，y1y2=-4m．

若以弦DE为直径的圆都过原点，则OD⊥OE，∴x1x2+y1y2=0．

即++y1y2=m2-4m，解得m=0 （不合题意，舍去）或 m=4．

∴存在点P（4，0），使得过P点任作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点．

设弦AB的中点为M（x，y）  则x=（x1+x2），y=（ y1+y2），

x1+x2=ky1+4+ky2+4=k（y1+y2）+8=4k2+8，

∴弦AB的中点M的轨迹方程为：

消去k得：y2=2x-8．

∴圆心的轨迹方程为y2=2x-8．