- 抛物线的标准方程及图象
- 共391题
根据下列条件求抛物线的标准方程:
(1)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点;
(2)过点P(2,-4).
正确答案
(1)∵双曲线16x2-9y2=144化成标准方程得-
=144,
∴a2=9且b2=16,可得a=3且b=4,双曲线的左顶点为(-3,0).
又∵抛物线的焦点是双曲线的左顶点,∴抛物线的开口向左,
设抛物线的方程为y2=-2px(p>0),可得-=-3,解得p=6.
因此,所求抛物线的方程为y2=-12x;
(2)根据点P(2,-4)在第四象限,可得抛物线开口向右或开口向下.
①当抛物线的开口向右时,设抛物线方程为y2=2px(p>0),
将P的坐标代入,得(-4)2=2p×2,解之得p=4,
∴此时抛物线的方程为y2=8x;
②当抛物线的开口向右时,用类似于①的方法可得抛物线的方程为x2=-y.
综上所述,所求抛物线的方程为y2=8x或x2=-y.
设F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,过F且与抛物线C对称轴垂直的直线被抛物线C截得线段长为4.
(1)求抛物线C方程.
(2)设A、B为抛物线C上异于原点的两点且满足FA⊥FB,延长AF、BF分别抛物线C于点C、D.求:四边形ABCD面积的最小值.
正确答案
(1)由条件得2p=4,∴抛物线C的方程为y2=4x;
(2)两直线垂直,焦点为(1,0),不妨设两直线为:y=k(x-1)(k≠0)与ky=1-x
y=k(x-1)与抛物线方程联立,可得k2 x2-2(k2+2)x+k2=0,
设A(x1,y1),C(x2,y2),则|x1-x2|==
∴弦长|AC|=|x1-x2|=
同理可得,弦长|BD|=4(k2+1)
∵两条直线相互垂直,∴这个四边形的面积S=|AC||BD|=8(k2+
+2)≥8(2
+2)=32
当且仅当k=±1时等号成立,此时取到面积最小值为32.
已知抛物线C的顶点在原点,焦点为F(1,0),且过点A(t,2).
(1)求t的值;
(2)若直线y=kx-1与抛物线C只有一个公共点,求实数k的值.
正确答案
(1):设抛物线C的方程为y2=2px
由题知p=1,即p=2
所以,抛物线C的方程为y2=4x
因点A(t,2).在抛物线上,有4=4t,得t=1
(2)由 得k2x2-(2k+4)x+1=0
当k=0时,方程即-4x+1=0,x=,满足条件
当k≠0时,由△=16k+16=0,得 k=-1
综上所述,实数k的值为0或-1 (13分)
以椭圆+
=1的中心为顶点,右焦点为焦点的抛物线方程是______.
正确答案
因为椭圆+
=1的右焦点为(2,0),所以
=2,2p=8且抛物线开口向右.
所以抛物线方程为y2=8x.
故答案为:y2=8x.
已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴的正半轴,且过点(2,4).
(1)求抛物线的标准方程;
(2)已知直线y=kx-2交抛物线于A、B两点,且AB的中点的横坐标为2,求弦AB的长.
正确答案
(1)设抛物线方程为y2=2px(p>0)
由已知得:16=2p×2,则2p=8
故抛物线方程为y2=8x…(4分)
(2)由得,k2x2-(4k+8)x+4=0…(6分)
设A(x1,y1),B(x2,y2),则△=(4k+8)2-16k2>0,即k>-1…(8分)
由韦达定理得:x1+x2=,x1x2=
又=2,即
=4,解得:k=2或k=-1(舍)…(10分)
则|AB|==
=2
…(12分)
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