- 抛物线的标准方程及图象
- 共391题
设P（x1，y1），Q（x2，y2） 是抛物线C：y2=2px（p＞0）上相异两点，且
（Ⅰ）若P，Q 到x 轴的距离的积为4，求p的值；
（Ⅱ）若p为已知常数，在x 轴上，是否存在异于E 的一点F，使得直线PF 与抛物线的另一交点为R，而直线RQ 与x 轴相交于T，且有
正确答案
（Ⅰ）∵
又P、Q在抛物线上，故y12=2px1，y22=2px2，故得
y1y2=-4p2⇒|y1y2|=4p2，又|y1y2|=4，故得4p2=4，p=1．∴y2=2x，…（4分）
设E（a，0）（a≠0），直线PQ方程为x=my+a，联立方程
消去x得y2-2pmy-2pa=0；∴y1y2=-2pa=-4p2，∴a=2p=2，∴S△OPQ=
（Ⅱ）设E（a，0），直线PQ方程为x=my+a，联立方程组
消去x得y2-2pmy-2pa=0；∴y1y2=-2pa①
设F（b，0），R（x3，y3），同理可知，y1y3=-2pb②
由①、②可得
若
将④代入③，得b=3a．又由（Ⅰ）知，
可得-2pa=-4p2，a=2p．故b=6p．
故知，在x轴上，存在异于E的一点F（6p，0），使得
已知曲线C上的动点P（x，y）满足到点F（0，1）的距离比到直线y=-2的距离小1．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点F作直线l与曲线C交于A、B两点．
（ⅰ）过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M，证明：MA⊥MB；
（ⅱ）是否在y轴上存在定点Q，使得无论AB怎样运动，都有∠AQF=∠BQF？证明你的结论．
正确答案
（1）依题意有
（2）（ⅰ）∵直线AB与x轴不垂直，设AB：y=kx+8．
A（x1，y1），B（x2，y2）．
由
抛物线方程为y=
所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是kAM=
∴kAM•kBM=
（ⅱ）设点Q（0，t），此时kAQ=
由（ⅰ）可知故kAQ+kBQ=
即：k（8+t）=0
故当t=-1，即Q（0，-1）时，使得无论AB怎样运动，都有∠AQP=∠BQP
与抛物线y2=2x关于点（-1，0）对称的抛物线方程是______．
正确答案
设曲线上的点坐标为（x0，y0），其关于点（-1，0）的对称点坐标为（x，y）
依题意可知x0=-x-2，y0=-y
把点（x0，y0）代入抛物线y2=2x得（-y）2=2（-x-2），即y2=-2（x+2）
故答案为：y2=-2（x+2）．
已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若P（2，2）为AB的中点，则抛物线C的方程为______．
正确答案
设抛物线方程为y2=2px，
直线与抛物线方程联立求得x2-2px=0
∴xA+xB=2p
∵xA+xB=2×2=4
∴p=2
∴抛物线C的方程为y2=4x
故答案为：y2=4x
已知抛物线方程y2=mx（m∈R，且m≠0）．
（Ⅰ）若抛物线焦点坐标为（1，0），求抛物线的方程；
（Ⅱ）若动圆M过A（2，0），且圆心M在该抛物线上运动，E、F是圆M和y轴的交点，当m满足什么条件时，|EF|是定值．
正确答案
（Ⅰ）依题意：
∴p=2∴所求方程为y2=4x．（4分）
（Ⅱ）设动圆圆心为M（a，b），（其中a≥0），E、F的坐标分别为（0，y1），（0，y2）
因为圆M过（2，0），
故设圆的方程（x-a）2+（y-b）2=（a-2）2+b2（6分）
∵E、F是圆M和y轴的交点
∴令x=0得：y2-2by+4a-4=0（8分）
则y1+y2=2b，y1•y2=4a-4
|EF|=
又∵圆心M（a，b）在抛物线y2=mx上
∴b2=ma（11分）
∴|EF|=
∴当m=4时，|EF|=4（定值）．（14分）
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