抛物线的标准方程及图象
共391题

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抛物线的标准方程及图象
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题型：填空题

填空题

焦点在直线3x-4y-12=0上，且顶点在原点的抛物线标准方程为______．

正确答案

∵是标准方程，∴其焦点应该在坐标轴上，

∴令x=0，y=0代入线3x-4y-12=0，解得其焦点坐标为（4，0）和（0，-3）

当焦点为（4，0）时，即P=8，∴其方程为y2=16x，

当焦点为（0，-3）时，可知P=6，∴其方程为x2=-12y．

故答案为：y2=16x或x2=-12y．

题型：填空题

填空题

经过点P（4，-2）的抛物线的标准方程是______．

正确答案

设抛物线方程为y2=2px或x2=2py（p＞0），

∵抛物线过点（4，-2）

∴2p×4=4或2p×（-2）=16

∴2p=1或-8

∴抛物线的标准方程为y2=x或x2=-8y

故答案为：y2=x或x2=-8y．

题型：填空题

填空题

焦点在x-y-1=0上的抛物线的标准方程是______．

正确答案

直线x-y-1=0与x轴的交点是A（1，0）

则以A为焦点的抛物线的标准方程为y2=4x

直线x-y-1=0与y轴的交点是B（0，-1）

则以B为焦点的抛物线的标准方程为x2=-4y

故答案为：y2=4x或x2=-4y

题型：简答题

简答题

已知抛物线y2=2px（p＞0），焦点为F，一直线l与抛物线交于A、B两点，且|AF|+|BF|=8，且AB的垂直平分线恒过定点S（6，0）

①求抛物线方程；

②求△ABS面积的最大值．

正确答案

①设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x0，y0）

当直线的斜率存在时，设斜率为k，则由|AF|+|BF|=8得x1+x2+p=8，∴x0=4-

又得-=2p(x1-x2)，∴y0=

所以M(4-，)

依题意•k=-1，∴p=4

∴抛物线方程为y2=8x----（6分）

当直线的斜率不存在时，2p=8，也满足上式，∴抛物线方程为y2=8x

②当直线的斜率存在时，由M（2，y0）及kl=，lAB：y-y0=(x-2)

令y=0，得xK=2-

又由y2=8x和lAB：y-y0=(x-2)得：y2-2y0y+2-16=0

∴S△ABS=≤•=----（12分）

当直线的斜率不存在时，AB的方程为x=2，|AB|=8，△ABS面积为×8×4=16

∵＞16，∴△ABS面积的最大值为．

题型：简答题

简答题

已知点F（0，），动圆P经过点F且和直线y=-相切，记动圆的圆心P的轨迹为曲线W．

（1）求曲线W的方程；

（2）四边形ABCD是等腰梯形，A，B在直线y=1上，C，D在x轴上，四边形ABCD 的三边BC，CD，DA分别与曲线W切于P，Q，R，求等腰梯形ABCD的面积的最小值．

正确答案

（1）动圆圆心P到F的距离等于P到y=的距离，

则P点的轨迹是抛物线，

且p=2，所以x2=6y为双曲线W的方程．

（2）设P（x，y），由y=x2，y′=x，知BC方程：y-y1=x1(x-x1)，

令y=0，-x12=x1（x-x1），x=x1，

即C（x1，0），

令y=1，1-x12=x1（x-x1），

=x1(x-x1)，

x=+x1=，即B（，1），

所以梯形ABCD的面积S=×(2×x1+2×)×1=(x1+)

=(x1++x1)

=(2x1+)

≥×2=2．

当且仅当2x1=，即x1=时，S有最小值2．

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