- 抛物线的标准方程及图象
- 共391题
已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5．
（1）求抛物线方程；
（2）过焦点F作倾斜角为45°的直线，交抛物线于A，B两点，求 A B的中点C到抛物线准线的距离．
正确答案
（1）抛物线y2=2px的准线为x=-
∴p=2．
∴抛物线方程为y2=4x．…（4分）
（2）∵点F的坐标是（1，0），
所以AB的方程为y=x-1，…（6分）
由
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=6，
所以C点的横坐标为xC=3…（10分）
所以AB的中点C到抛物线准线的距离为xC+1=4．…（12分）
学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为
（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
（2）试问：当航天器在x轴上方时，观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？
正确答案
（1）设曲线方程为y=ax2+
由题意可知，0=a•64+
∴a=-
∴曲线方程为y=-
（2）设变轨点为C（x，y），根据题意可知
得4y2-7y-36=0，y=4或y=-
∴y=4．
得x=6或x=-6（不合题意，舍去）．
∴C点的坐标为（6，4），|AC|=2
答：当观测点A、B测得AC、BC距离分别为2
以x轴为对称轴，且过点P（-2，-4）的抛物线的标准方程为______．
正确答案
抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是x轴，并且经过点P（-2，-4）
设它的标准方程为y2=2px（p＞0）
∴（-4）2=2p•（-2）
解得：p=-4
∴y2=-8x．
故答案为：y2=-8x．
已知抛物线的焦点在直线l：x-2y-4=0上，求抛物线的标准方程．
正确答案
令x=0得y=-2；令y=0得x=4；
∴抛物线的焦点坐标为：（4，0），（0，-2）--------------------------------------------------（4分）
当焦点为（4，0）时，即
∴p=8，此时抛物线方程为：y2=16x；--------------（7分）
当焦点为（0，-2）时，即
∴p=4，此时抛物线方程为：x2=-8y；
故所求抛物线的标准方程为：y2=16x 或x2=-8y；-----------------------------（10分）
已知抛物线的极坐标方程为ρ=
正确答案
由ρ=
化简得y2=8x+16，其准线方程为x=-4，
所以准线的极坐标方程为ρcosθ=-4，
故答案为：ρcosθ=-4．
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