- 几何概型
- 共1906题
已知集合A={x|-1≤x≤0}，集合B={x|x2+2ax+b2≤0，0≤a≤2，1≤b≤2}．
（1）若a，b∈N，求A∩B≠∅的概率；
（2）若a，b∈R，求B≠∅的概率．
正确答案
（1）对集合B，a=0，1，2，b=1，2；
若a=0，b=1，则x2+1≤0，B=∅，
若a=0，b=2，则x2+4≤0，B=∅，
若a=1，b=1，则x2+2x+1≤0，B={-1}，A∩B≠∅，
若a=1，b=2，则x2+2x+4≤0，B=∅，
若a=2，b=1，则x2+4x+1≤0，B={-2-
若a=2，b=2，则x2+4x+4≤0，B={-2}，A∩B=∅，
∴总的基本事件有6个，他们是等可能的，事件A∩B≠∅，包含2个基本事件
∴概率=
（2）因为0≤A≤2，1≤b≤2，所以点（a，b）所在的区域D的面积为2
又因为B≠∅，所以△=4a2-4b2≥0，即a≥b，则区域D的面积为
所以B≠∅，的概率为
下列说法正确的有______．（把所有正确说法的序号都填在横线上）；
①抛掷两枚硬币，出现“两枚都是正面朝上”、“两枚都是反面朝上”、“恰好一枚硬币正面朝上”的概率一样大；
②已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，标准差是
③已知两相关变量x，y之间的一组数据如下：（0，8），（1，2），（2，6），（3，4），则线性回归方程
④向面积为S的△ABC内任投一点P，则随机事件”△PBC的面积小于
正确答案
①抛掷两枚硬币，出现“两枚都是正面朝上”的概率p1=
“两枚都是反面朝上”的概率p2=
“恰好一枚硬币正面朝上”的概率=
②∵样本9，10，11，x，y的平均数是10，
∴x+y=20．
∵标准差是
∴
∴x2+y2-20（x+y）+200=8，
∴xy=96．故②成立；
③已知两相关变量x，y之间的一组数据如下：（0，8），（1，2），（2，6），（3，4），则线性回归方程
④在AB上取M使
过M作MN‖BC交AC于N，
∴△ABC∽△AMN，
∴
AM
AB
)2=（
∵S在△ANM中不满足要求，S在梯形MNCB中满足要求，
∴概率=
故答案为：②④．
下面四个命题：
①函数y=loga（x+1）+1（a＞0且a≠1）的图象必经过定点（0，1）；
②已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则￢p：∃x∈R，sinx≤1；
③过点（-1，2）且与直线2x-3y+4=0垂直的直线方程为3x+2y-1=0；
④在区间（-2，2）上随机抽取一个数x，则ex＞1的概率为
其中所有正确命题的序号是：______．
正确答案
①由x+1=1得，x=0，此时y=1，所以函数y=loga（x+1）+1（a＞0且a≠1）的图象必经过定点（0，1），正确．
②全称命题的否定是特称，所以命题p：∀x∈R，sinx≤1的否定是￢p：∃x∈R，sinx＞1，所以②错误．
③直线2x-3y+4=0的斜率是
④由ex＞1得x＞0，所以由几何概型公式得ex＞1的概率为P=
故答案为：①③．
已知集合A={x|x2+2x-3＜0}，B={x|
（1）在区间（-4，4）上任取一个实数x，求“x∈A∩B”的概率；
（2）设（a，b）为有序实数对，其中a是从集合A中任取的一个整数，b是从集合B中任取的一个整数，求“b-a∈A∪B”的概率．
正确答案
（Ⅰ）由已知A=x|-3＜x＜1B=x|-2＜x＜3，（2分）
设事件“x∈A∩B”的概率为P1，
这是一个几何概型，则P1=
（2）因为a，b∈Z，且a∈A，b∈B，
所以，基本事件共12个：（-2，-1），（-2，0），（-2，1），（-2，2），（-1，-1），
（-1，0），（-1，1），（-1，2），（0，-1），（0，0），（0，1），（0，2）．（9分）
设事件E为“b-a∈A∪B”，则事件E中包含9个基本事件，（11分）
事件E的概率P(E)=
已知集合A={x|-1＜x＜5}，B={x|
正确答案
B={x|2＜x＜4}，∴A∩B={x|2＜x＜4}，
∴事件“x∈A∩B”的概率是
故填
下列四种说法：
①命题“∃x∈R，使得x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，都有x2+1≤3x”；
②“m=-2”是“直线（m+2）x+my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的必要不充分条件；
③将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程x2+bx+c=0有实根的概率为
④过点（
其中所有正确说法的序号是 ______．
正确答案
①中命题“∃x∈R，使得x2+1＞3x”为特称命题，其否定应为全称命题，注意量词的变化，故①正确；
②中m=-2时，两直线为：-2y+1=0和-4x-3=0，两直线垂直，而两直线垂直时，有-
所以“m=-2”是“直线（m+2）x+my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的充分不必要条件；
③b和c的取值分别为1、2、3、4、5、6，共36种，方程x2+bx+c=0有实根，则△=b2-4c≥0，取值共有16种，故概率为
④设切点为P（x0，y0），则函数y=
切线方程为：y-
代入①式可求得切线方程，④错误
故答案为：①③
已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+b-1，且a∈（0，3），则对于任意的b∈R，函数F（x）=f（x）-x总有两个不同的零点的概率是______．
正确答案
∵F（x）=ax2+（b+1）x+b-1-x=ax2+bx+b-1，
函数F（x）总有两个不同的零点，
所以△=b2-4ab+4a＞0恒成立
令f（b）=b2-4ab+4a＞0
只需要△=16a2-16a＜0
∴0＜a＜1．
所以，由几何概率的公式可得，所求的概率P=
故答案为
设a∈[0，2]，则关于x的方程x2+2ax+1=0在R上有实数根的概率为 ______．
正确答案
关于x的方程x2+2ax+1=0在R上有实数根⇒△≥0⇒a≥1，
所以概率p=
故答案为 
已知函数f（x）=x2-2ax+b2，a，b∈R．若a从区间[0，2]中任取一个数，b从区间[0，3]中任取一个数，求方程f（x）=0没有实根的概率．
正确答案
由题知试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3}，其面积为SΩ=6．
设“方程没有实根”为事件B，则事件B构成的区域为M={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3，a＜b}，
即图中阴影部分的梯形，梯形的面积为 
故方程f（x）=0没有实根的概率为 
已知函数f(x)=
正确答案
因为f′(x)=
在区间[2，3]上任取一点x0，使得f'（x0）＞0的概率P=
故答案为e-2
扫码查看完整答案与解析