- 几何概型
- 共1906题
已知集合A={x|x2+2x-3＜0}，B={x|（x+2）（x-3）＜0}，
（1）在区间（-3，3）上任取一个实数x，求“x∈A∩B”的概率；
（2）设（a，b）为有序实数对，其中a是从集合A中任取的一个整数，b是从集合B中任取的一个整数，求“a-b∈A∪B”的概率．
正确答案
解：（1）∵A={x|x2+2x-3＜0}，B={x|（x+2）（x-3）＜0}，
∴解之，得A={x|-3＜x＜1}，B={x|-2＜x＜3}，…（2分）
∴A∩B={x|-2＜x＜1}，
事件“x∈A∩B”对应长度为3的线段，设它的概率为P1，
所有的事件：x∈（-3，3），对应长度为6的线段．
∴事件“x∈A∩B”的概率为：
（2）因为a，b∈Z，且a∈A，b∈B，
所以，a∈{-2，-1，0}，b∈{-1，0，1，2}基本事件可列出如下：-1，-2，-3，-4，0，-1，-2，-3，1，0，-1，-2
因此a-b共有12个结果，即12个基本事件． …（9分）
又因为A∪B=（-3，3），
设事件E为“a-b∈A∪B”，则事件E中包含9个基本事件，…（11分）
事件E的概率
解析
解：（1）∵A={x|x2+2x-3＜0}，B={x|（x+2）（x-3）＜0}，
∴解之，得A={x|-3＜x＜1}，B={x|-2＜x＜3}，…（2分）
∴A∩B={x|-2＜x＜1}，
事件“x∈A∩B”对应长度为3的线段，设它的概率为P1，
所有的事件：x∈（-3，3），对应长度为6的线段．
∴事件“x∈A∩B”的概率为：
（2）因为a，b∈Z，且a∈A，b∈B，
所以，a∈{-2，-1，0}，b∈{-1，0，1，2}基本事件可列出如下：-1，-2，-3，-4，0，-1，-2，-3，1，0，-1，-2
因此a-b共有12个结果，即12个基本事件． …（9分）
又因为A∪B=（-3，3），
设事件E为“a-b∈A∪B”，则事件E中包含9个基本事件，…（11分）
事件E的概率
如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：由题意，y=lnx与y=ex关于y=x对称，
∴阴影部分的面积为2
∵边长为e（e为自然对数的底数）的正方形的面积为e2，
∴落到阴影部分的概率为
故选：C．
设不等式组
内的概率为______．
正确答案
解析
解：不等式组
其面积为16．
圆C：（x-2）2+y2=4及其内部区域D是圆心为（2，0），半径为2的圆．
∵区域D包含在M内的部分是一个半径为2的半圆，
其面积为
∴区域W内投入一点，
则该点落在区域D内的概率
故答案为：
在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1内任取一点，则点P到点A的距离小于等于a的概率为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
与点A距离等于a的点的轨迹是一个八分之一个球面，
其体积为：V1=，
“点P与点O距离大于1的概率”事件对应的区域体积为：
则点P到点A的距离小于等于a的概率为：
故选C．
已知1≤a≤3，2≤b≤5，则方程x2-bx+a2=0有实数解的概率是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
即
如下图所示，区域1≤a≤3，2≤b≤5的面积为6，
在1≤a≤3，2≤b≤5前提下，区域不等式组表示的区域面积为
由几何概型等式可得方程x2-bx+a2=0有实数解的概率是：
故选A．
在长为12cm的线段AB上任取一点C，以AC、BC的长为邻边作一个矩形，则该矩形的面积小于32cm2的概率为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：设AC=x，则BC=12-x，0＜x＜12
若矩形面积S=x（12-x）＜32，则x＞8或x＜4
即将线段AB三等分，当C位于首段和尾段时，矩形面积小于32，
故该矩形面积小于32cm2的概率为P=
故选B．
正确答案
3.12
解析
解：由题意得：
设正方形的边长为1，
圆的面积为π．
正方形的面积为4．
∴P（A）=
故答案为：3.12
一海豚在水池中自由游弋，水池为长30米，宽20米的长方形，则海豚嘴尖离岸边不超过2米的概率为______．
正确答案
解析
解：如图所示：
阴影部分的面积为20×30-26×16
∴海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率为P=1-
故答案
由不等式组
A
B
C
D
正确答案
解析
解：不等式确定的平面区域为M如图中黑色阴影部分，
所以
区域N的面积为2（e-1）=2e-2，
由几何概型公式可得在N内随机的取一点P，则点P落在区域M内的概率为：
故选：A．
若a是从区间[0，6]上任取一个数，b是从区间[0，6]上任取一个数，求直线y=a-b在函数y=sinx图象上方的概率．
正确答案
解析
解：记“直线y=a-b在函数y=sinx图象上方”为事件B，试验全部结果构成的区域为Ω={（a，b）|0≤a≤6，0≤b≤6}
事件B的区域为{（a，b）|0≤a≤6，0≤b≤6，a-b＞1}，如图阴影部分所示：
∴所求事件的概率为
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