几何概型_章节学习

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题型：简答题

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简答题

如图，在边长为1的正方形OABC内取一点P（x，y），求：

（1）点P到原点距离小于1的概率；

（2）以x，y，1为边长能构成三角形的概率；

（3）以x，y，1为边长能构成锐角三角形的概率．

正确答案

解：（1）若点P到原点距离小于1，则P位于以O为圆心、半径为1的圆内部

因此，点P到原点距离小于1的概率为P1== （3分）

（2）若以x，y，1为边长能构成三角形，

则有，

对应区域为正方形ABCO内部且位于直线AC上方，即△ABC及其内部，

因此以x、y、1为边长能构成三角形的概率为P2== （6分）

（3）以x，y，1为边长能构成锐角三角形，注意到最长的边等于1

可得，

对应区域为正方形ABCO内部且位于以O为圆心、半径为1的圆外部，即如图的阴影部分

因此以x，y，1为边长能构成锐角三角形的概率为

P3==1- （10分）

答：（1）点P到原点距离小于1的概率为；

（2）以x，y，1为边长能构成三角形的概率为；

（3）以x，y，1为边长能构成锐角三角形的概率为1-．（12分）

解析

解：（1）若点P到原点距离小于1，则P位于以O为圆心、半径为1的圆内部

因此，点P到原点距离小于1的概率为P1== （3分）

（2）若以x，y，1为边长能构成三角形，

则有，

对应区域为正方形ABCO内部且位于直线AC上方，即△ABC及其内部，

因此以x、y、1为边长能构成三角形的概率为P2== （6分）

（3）以x，y，1为边长能构成锐角三角形，注意到最长的边等于1

可得，

对应区域为正方形ABCO内部且位于以O为圆心、半径为1的圆外部，即如图的阴影部分

因此以x，y，1为边长能构成锐角三角形的概率为

P3==1- （10分）

答：（1）点P到原点距离小于1的概率为；

（2）以x，y，1为边长能构成三角形的概率为；

（3）以x，y，1为边长能构成锐角三角形的概率为1-．（12分）

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题型：简答题

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简答题

设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0．

（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；

（2）若实数a、b满足不等式（a-2）2+（b-1）2≤1，求上述方程有实根的概率．

正确答案

解：∵关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0有解．

∴△=2a2-4b2≥0，即a2≥b2，

（1）a是从0，1，2，3四个数中任取一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，

总共有4×3=12个基本事件，

当a=0，b=0；

当a=1，b=0，1；

当a=2，b=0，1，2；

当a=3，b=0，1，2，

∴方程有根的情况为9中

即符合题意的事件为9个，

方程有实根的概率为=，

（2）实数a、b满足不等式（a-2）2+（b-1）2≤1，

∴△=2a2-4b2，△≥0，即a2≥b2，

∵圆心为（2，1），半径为1，∴面积为π．

阴影部分的面积为．

根据几何概率求解得出：

方程有实根的概率：．

解析

解：∵关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0有解．

∴△=2a2-4b2≥0，即a2≥b2，

（1）a是从0，1，2，3四个数中任取一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，

总共有4×3=12个基本事件，

当a=0，b=0；

当a=1，b=0，1；

当a=2，b=0，1，2；

当a=3，b=0，1，2，

∴方程有根的情况为9中

即符合题意的事件为9个，

方程有实根的概率为=，

（2）实数a、b满足不等式（a-2）2+（b-1）2≤1，

∴△=2a2-4b2，△≥0，即a2≥b2，

∵圆心为（2，1），半径为1，∴面积为π．

阴影部分的面积为．

根据几何概率求解得出：

方程有实根的概率：．

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题型：单选题

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单选题

在区间[0，1]上任意取两个实数a，b，则函数在区间[-1，1]上有且仅有一个零点的概率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解析：函数在区间[-1，1]上有且仅有一个零点，

所以f（-1）f（1）＜0，即，

也就是，

故a，b满足

图中阴影部分的面积为

所以，函数在区间[-1，1]上有且仅有一个零点的概率为

故选D．

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题型：单选题

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单选题

甲决定在某日0时至24内随机向某网站发布一则信息，该网站将这则信息保留4小时，乙在这一天0时至24时内随机到此网站的同一网面浏览2小时，则乙能看到甲发布信息的概率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：设甲发布信息的时刻是x，乙开始浏览网站的时刻是y，

其中，x，y∈[0，24]，要使乙能看到甲发布的信息，

需要从两方面分析，

①若甲先发布信息，此时需满足y-x≤4，

②若乙先浏览网站，此时需满足x-y≤2，

因此，P（x，y）满足的条件为，

如右图所示，当P（x，y）在图中阴影部分内时，

乙就能看到甲发布信息，

所以其概率为P=1-=，

故答案为：C．

1

题型：单选题

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单选题

若实数a，b满足a2+b2≤1，则关于x的方程x2-2x+a+b=0无实数根的概率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：∵实数a，b满足a2+b2≤1，

∴以a为横坐标、b为纵坐标建立直角坐标系，

可得所有的点（a，b）在以O为圆心，半径为1的圆及其内部，

即单位圆及其内部，如图所示

若关于x的方程x2-2x+a+b=0无实数根，

则满足△=4-4（a+b）＜0，解之得a+b＞1

符合上式的点（a，b）在圆内且在直线a+b=1的上方，

其面积为S1=π×12-×1×1=

又∵单位圆的面积为S=π×12=π

∴关于x的方程x2-2x+a+b=0无实数根的概率为P===

故选：D

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题型：填空题

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填空题

一次在北京召开的国际数学家大会，会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，现在在线段AF与FB上任取一点P，则点P落在线段AF上的概率为______．

正确答案

解析

解：设三角形较小直角边为x

∵S小正方形=，

∴小正方形边长=，

∴直角三角形另一条直角边为x+，

∵S大正方形=1，

∴大正方形边长=1，

根据勾股定理，x2+（x+）2=12，

解得x=，

所以AE=，BF=，

所以在线段AF与FB上任取一点P，则点P落在线段AF上的概率为；

故答案为：．

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题型：单选题

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单选题

平行四边形ABCD中，E为CD的中点．若在平行四边形ABCD内部随机取一点M，则点M取自△ABE内部的概率为（　　）

A

B

C

D1

正确答案

C

解析

解：如图，在平行四边形ABCD内部随机取一点M，则总的基本事件对应的区域为平行四边形ABCD，

要使点M取自△ABE内部，则所含的基本事件对应的区域为△ABE，

故所求的概率P==．

故选：C．

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题型：单选题

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单选题

如图，在正方形OABC内任取一点，取到函数y=x的图象与x轴正半轴之间（阴影部分）的点的概率等于（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：由已知，正方形的面积为1，阴影部分的面积为，

由几何概型的公式取到函数y=x的图象与x轴正半轴之间（阴影部分）的点的概率等于；

故选：B．

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题型：单选题

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单选题

如图，一颗豆子随机扔到桌面上，假设豆子不落在线上，则它落在阴影区域的概率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：由题意知本题是一个几何概型，

试验发生包含的事件对应的图形是一个大正方形，

若设正方形的边长是3，则正方形的面积是9，

满足条件的事件是三个小正方形面积是 3，

∴落在图中阴影部分中的概率是

故选D．

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题型：单选题

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单选题

若θ=（0≤k≤10，k∈Z），则sinθ+cosθ≥1的概率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：θ=（0≤k≤10，k∈Z），∴θ有11个．

sinθ+cosθ=sin（θ+）≥1，

∴+2nπ≤θ+≤+2nπ，n∈Z，

∴2nπ≤θ≤+2nπ，n∈Z，

k=0，1，2，8，9，10时满足题意，

∴所求概率为．

故选：D．

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