- 几何概型
- 共1906题
设有关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0．
（Ⅰ）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，记方程有两不等实根为事件A，方程没有实数根记为事件B，求事件A+B的概率
（Ⅱ）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
正确答案
解：（Ⅰ）由题意可知，总的基本事件有：
（0，0）、（0，1）、（0，2）、（1，0）、（1，1）、（1，2）、
（2，0）、（2，1）、（2，2）、（3，0）、（3，1）、（3，2）共有12个…（1分）
事件A发生，要求△=4a2-4b2＞0，即a2＞b2，
符合的基本事件有（1，0）、（2，0）、
（2，1）、（3，0）、（3，1）、（3，2），共6个…（2分）
故P（A）=
事件B发生要求△=4a2-4b2＜0，即a2＜b2，符合的基本事件有：（0，1）、（0，2）、
（1，2）共3个…（4分）
故P（B）=
又事件A、B互斥，
∴P（A+B）=P（A）+P（B）=
（Ⅱ）试验的全部约束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}．
构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}．
所以所求的概率为=
解析
解：（Ⅰ）由题意可知，总的基本事件有：
（0，0）、（0，1）、（0，2）、（1，0）、（1，1）、（1，2）、
（2，0）、（2，1）、（2，2）、（3，0）、（3，1）、（3，2）共有12个…（1分）
事件A发生，要求△=4a2-4b2＞0，即a2＞b2，
符合的基本事件有（1，0）、（2，0）、
（2，1）、（3，0）、（3，1）、（3，2），共6个…（2分）
故P（A）=
事件B发生要求△=4a2-4b2＜0，即a2＜b2，符合的基本事件有：（0，1）、（0，2）、
（1，2）共3个…（4分）
故P（B）=
又事件A、B互斥，
∴P（A+B）=P（A）+P（B）=
（Ⅱ）试验的全部约束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}．
构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}．
所以所求的概率为=
欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），则油滴正好落入孔中的概率是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
∵S正=1，S圆=π
∴P=
故选：A
正确答案
将3O分钟的磁带表示为长度为3O的线段R，则代表10秒钟与犯罪活动有关的谈话的区间为 r，如右图所示，10秒钟的谈话被偶然擦掉部分或全部的事件仅在擦掉开始的时间位于该区间内或始于该区间左边的任何点． 因此事件r是始于R线段的左端点且长度为
的事件．因此
即含有犯罪内容的谈话被部分或全部偶然擦掉的概率将是0.02
解析
将3O分钟的磁带表示为长度为3O的线段R，则代表10秒钟与犯罪活动有关的谈话的区间为 r，如右图所示，10秒钟的谈话被偶然擦掉部分或全部的事件仅在擦掉开始的时间位于该区间内或始于该区间左边的任何点． 因此事件r是始于R线段的左端点且长度为
的事件．因此
即含有犯罪内容的谈话被部分或全部偶然擦掉的概率将是0.02
欧阳修《煤炭翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．
可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为1.5cm圆，中间有边长为0.5cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：由题意可得铜钱的面积S=π×（
边长为0.5cm的正方形孔的面积S′=0.52=
∴所求概率P=
故选：A
在区域M={（x，y）|0＜x＜π，0＜y＜2}内随机撒一把黄豆，落在区域
正确答案
解析
解：区域M={（x，y）|0＜x＜π，0＜y＜2}的面积为：2π
区域
∴落在区域
故答案为：
已知两同心圆的半径之比为1：2，若在大圆内任取一点P，则点P在小圆内的概率为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：由题意，设小圆半径为r，大圆半径为2r，所以小圆面积为πr2，大圆的面积为4πr2，
所以在大圆内任取一点P，则点P在小圆内的概率为
故选C．
已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC=
正确答案
1-
解析
解：分别以A，B，C，D为圆心，1为半径的圆，
则所以概率对应的面积为阴影部分，
则四个圆在菱形内的扇形夹角之和为2π，
则对应的四个扇形之和的面积为一个整圆的面积S=π×12=π，
∵∠ABC=
∴∠BAD=
则菱形的面积S=
则阴影部分的面积S=8-π，
故所求的概率P=
故答案为：
在区间[-1，3]是任取实数a，使得关于x的方程x2-2x+a=0有实根的概率为______．
正确答案
0.5
解析
解：∵方程x2-2x+a=0有实根，
∴4-4a≥0，
∴a≤1时方程有实根，
∵在区间[-1，3]上任取一实数a，区间长度为4，[-1，1]的区间长度为2，
∴所求的概率为P=
故答案为：0.5．
正确答案
解析
解：有题意可得，菱形的面积是2cb=2
圆的半径是a，则圆的面积是πa2，
根据几何概型的概率公式当得到：
所以
故答案为：
向边长为1的正方形内随机抛掷一粒芝麻，则芝麻落在正方形中心和芝麻不落在正方形中心的概率分别为______．
正确答案
0，1
解析
解：落在正方形的中心概率为0，不落在正方形的中心概率为1．
故答案为：0，1．
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