几何概型_章节学习

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题型：单选题

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单选题

一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：根据题意：安全飞行的区域为棱长为1的正方体

∴p=

故选B

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题型：填空题

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填空题

如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是______．

正确答案

解析

解：如图，设两个半圆的交点为C，且以AO为直径的半圆以D为圆心，连结OC、CD

设OA=OB=2，则弓形OMC的面积为

S弓形OMC=S扇形OCD-SRt△DCO=•π•12-×1×1=-

所以空白部分面积为S空白=2（S半圆AO-2S弓形OMC）=2[•π•12-（-1）]=2

因此，两块阴影部分面积之和为S阴影=S扇形OAB-S空白=π•22-2=π-2

可得在扇形OAB内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为P===．

故答案为：．

1

题型：单选题

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单选题

如图，边长为2的正方形内有一内切圆．在图形上随机撒一粒黄豆，则黄豆落到圆内的概率是（　　）

A

B

C

Dπ

正确答案

A

解析

解：由题意可得正方形的面积为4，其内切圆的半径为1，

故圆的面积为π，由几何概型可得，

黄豆落到圆内的概率P=，

故选A

1

题型：填空题

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填空题

甲、乙两位同学约定晚饭6点到7点之间在食堂见面，先到之人等后到之人十五分钟，则甲、乙两人能见面的概率为______．

正确答案

解析

解：由题意知，如图：

试验包含的所有事件是Ω={（x，y）|6＜x＜7，6＜y＜7}，

事件对应的集合表示的面积是s=1，

阴影部分是满足条件的事件A={（x，y）|6＜x＜7，8＜y＜7，0＜x-y＜，0＜y-x＜}，

∵（图中阴影部分）表示的面积是1-2×

根据几何概型概率公式得到P=，

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

a、b是常数，关于x的一元二次方程x2+（a+b）x+3+=0有实数解记为事件A．

（1）若a、b分别表示投掷两枚均匀骰子出现的点数，求P（A）；

（2）若a∈R、b∈R，-6≤a+b≤6且-6≤a-b≤6，求P（A）．

正确答案

解：（1）方程有实数解，（a+b）2-4（3+）≥0，

即a2+b2≥12…（1分）

依题意，a=1、2、3、4、5、6，b=1、2、3、4、5、6，

所以，“投掷两枚均匀骰子出现的点数”共有6×6=36种结果…（2分）

当且仅当“a=1且b=1、2、3”，或“a=2且b=1、2”，

或“a=3且b=1”时，a2+b2≥12不成立…（5分），

所以满足a2+b2≥12的结果有36-（3+2+1）=30种…（6分），

从而P（A）=…（7分）．

（2）在平面直角坐标系aOb中，直线a+b=±6与a-b=±6

围成一个正方形…（8分）

正方形边长即直线a+b=±6与a-b=±6之间的距离为d=…（9分）

正方形的面积S=d2=72…（10分），

圆a2+b2=12的面积为S′=12π…（11分）

圆在正方形内部…（12分），

所以P（A）=…（13分）．

解析

解：（1）方程有实数解，（a+b）2-4（3+）≥0，

即a2+b2≥12…（1分）

依题意，a=1、2、3、4、5、6，b=1、2、3、4、5、6，

所以，“投掷两枚均匀骰子出现的点数”共有6×6=36种结果…（2分）

当且仅当“a=1且b=1、2、3”，或“a=2且b=1、2”，

或“a=3且b=1”时，a2+b2≥12不成立…（5分），

所以满足a2+b2≥12的结果有36-（3+2+1）=30种…（6分），

从而P（A）=…（7分）．

（2）在平面直角坐标系aOb中，直线a+b=±6与a-b=±6

围成一个正方形…（8分）

正方形边长即直线a+b=±6与a-b=±6之间的距离为d=…（9分）

正方形的面积S=d2=72…（10分），

圆a2+b2=12的面积为S′=12π…（11分）

圆在正方形内部…（12分），

所以P（A）=…（13分）．

1

题型：单选题

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单选题

在花园小区内有一块三边长分别为6米、8米、10米的三角形绿化地，有一只小狗在其内部玩耍，若不考虑小狗的大小，则在任意指定的某时刻，小狗与三角形三个顶点的距离均超过2米的概率是（　　）

A1-

B1

C1

D2

正确答案

C

解析

解：记“小狗距三角形三个顶点的距离均超过2米”为事件A，则其对立事件为“小狗与三角形的三个顶点的距离不超过2米”，如图阴影部分，

三边长分别为6米、8米、10米的三角形的面积为S==24，

则事件构成的区域为分别以三角形的三个顶点为圆心半径为2的扇形，恰好可组合成一个半圆，其面积为S（）==2π，

由几何概型的概率公式得P（）=；

P（A）=1-P（）=1-．

故选：C．

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题型：单选题

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单选题

在区间[-1，1]上任取两数a、b，则使关于x的二次方程的两根都是实数的概率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：若关于x的二次方程的两根都是实数

则△=4（a2+b2）-4≥0，即a2+b2≥1

在区间[-1，1]上任取两数a、b对应的平面区域如下图中矩形面积所示，

其中满足条件a2+b2≥1的点如下图中阴影部分所示，

∵S矩形=2×2=4，S阴影=4-π

故在区间[-1，1]上任取两数a、b，则使关于x的二次方程的两根都是实数的概率P==

故选C

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题型：简答题

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简答题

已知二次函数f（x）=ax2-bx+1，A={x|1≤x≤3}，B={x|1≤x≤4}

（1）若a是从集合A中任取的一个整数，b是从集合B中任取的一个整数，求函数y=f（x）有零点的概率．

（Ⅱ）若a是从集合A中任取的一个实数，b是从集合A中任取的一个实数，求关于x的方程f（x）=0一根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，2）内的概率．

正确答案

解：（1）（a，b）共有12种情况．

函数y=f（x）有零点，△=b2-4a≥0，

有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6种情况

所以函数y=f（x）有零点的概率为=．

（2）设事件A为“关于x的方程f（x）=0一根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，2）内”．

试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|1≤a≤3，1≤b≤4}．

构成事件A的区域为{（a，b）|a-b+1＜0，4a-2b+1＞0}．

所以所求的概率为=．

解析

解：（1）（a，b）共有12种情况．

函数y=f（x）有零点，△=b2-4a≥0，

有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6种情况

所以函数y=f（x）有零点的概率为=．

（2）设事件A为“关于x的方程f（x）=0一根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，2）内”．

试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|1≤a≤3，1≤b≤4}．

构成事件A的区域为{（a，b）|a-b+1＜0，4a-2b+1＞0}．

所以所求的概率为=．

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题型：简答题

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简答题

在等腰三角形ABC中，A=90°，AB=3

（1）在三角形ABC中任取一点，离三个顶点距离都不小于1的概率．

（2）在BC边上任取一点M使BM＞AB的概率．

正确答案

解：（1）由题意，在三角形ABC中任取一点，离三个顶点距离都不小于1的区域为三角形面积除去半径为1的半圆的面积，由几何概型的公式得到P=；（6分）

（2）因为三角形为等腰直角三角形，所以在BC边上任取一点M使BM＞AB的是CM，（M是BC 的中点），CM=BC，所以在BC边上任取一点M使BM＞AB的概率为．（12分）

解析

解：（1）由题意，在三角形ABC中任取一点，离三个顶点距离都不小于1的区域为三角形面积除去半径为1的半圆的面积，由几何概型的公式得到P=；（6分）

（2）因为三角形为等腰直角三角形，所以在BC边上任取一点M使BM＞AB的是CM，（M是BC 的中点），CM=BC，所以在BC边上任取一点M使BM＞AB的概率为．（12分）

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题型：单选题

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单选题

王明早晨在6：30～7：00之间离开家去上学，送奶员在早上6：45～7：15之把牛奶送到王明家，则王明离开家之前能取到牛奶的概率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：设送奶员到达的时间为Y，王明离开家去上学的时间为X，记王明离开家之前能取到牛奶为事件A；

以横坐标表示牛奶送到时间，以纵坐标表示王明离家时间，建立平面直角坐标系，

王明离开家之前不能取到牛奶的事件构成区域如图示：

由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．

根据题意，只要点不落到阴影部分，就表示王明离开家之前能取到牛奶，即事件A发生，

所以P（A）=，

故选：A．

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