几何概型_章节学习

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题型：单选题

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单选题

如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为P=．

故选C．

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题型：填空题

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填空题

一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为______．

正确答案

1-

解析

解：小蚂蚁活动的范围是在三角形的内部，三角形的边长为4正三角形，所以面积为，

而“恰在离三个顶点距离都大于1”正好是三角形去掉三个半径为1，圆心角为的扇形，面积为3×=，

所以恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为=1-．

故答案为：1-．

1

题型：填空题

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填空题

已知向量=（2，1），=（x，y），若x∈{-1，0，1}，y∈{-2，0，2，4}，则事件“⊥”发生的概率是______．

正确答案

解析

解：设“⊥”为事件A，由⊥，得2x+y=0．

基本事件空间为Ω={（-1，-2），（-1，0），（-1，2），（-1，4），（0，-2），（0，0），（0，2），（0，4），（1，-2），（1，0），（1，2），（1，4）}，共包含12个基本事件；

其中A={（-1，2），（0，0），（1，-2）}，包含3个基本事件．

则P（A）==，即⊥的概率为．

故答案为：．

1

题型：填空题

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填空题

过点O（0，0）作直线与圆C：（x-2）2+（y-2）2=9相交，在弦长均为整数的所有直线中，等可能地任取一条直线，则弦长不超过5的概率为______．

正确答案

解析

解：圆C：（x-2）2+（y-2）2=9的圆心为（2，2），半径为3，

∵（0，0）在圆的内部且圆心与（0，0）的距离为2

∴过点O（0，0）作的直线中，最短的弦是直线与圆心和（0，0）连线垂直

最短的弦长为2

过点O（0，0）作的直线中，最长的弦是直径，其长为6

弦长均为整数的所有直线的条数有8，其中长度不超过5的有：2，3，3，4，4，5，5，共7条

所以长度不超过5的概率为．

故答案为：．

1

题型：单选题

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单选题

如图，矩形OABC内的阴影部分是由曲线f（x）=sinx（x∈（0，π））及直线x=a（a∈（0，π））与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则a的值是（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：由题意可得，是与面积有关的几何概率

构成试验的全部区域是矩形OACB，面积为：a×

记“向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分”为事件A，则构成事件 A的区域即为阴影部分

面积为∫0asinxdx=-cosx|0a=1-cosa

由几何概率的计算公式可得P（A）=

a=

故选B

1

题型：单选题

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单选题

在区间[0，2]上随机取两个数x，y其中满足y≥2x的概率是（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：在区间[0，2]上随机取两个数x，y，对应区域的面积为4，

满足y≥2x，对应区域的面积为=1，

∴所求的概率为．

故选：B．

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题型：填空题

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填空题

在平行四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，P、Q、M、N分别是线段OA、OB、OC、OD的中点，在APMC中任取一点记为E，在B、Q、N、D中任取一点记为F，设G为满足向量的点，则在上述的点G组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD外（不含边界）的概率为______．

正确答案

解析

解：由题意知，G点的位置受到E、F点取法不同的限制，令（E，F）表示E、F的一种取法，则

（A，B），（A，Q），（A，N），（A，D）

（P，B），（P，Q），（P，N），（P，D）

（M，B），（M，Q），（M，N），（M，D）

（C，B），（C，Q），（C，N），（C，D）共有16种取法，

而只有（P，Q），（P，N），（M，Q），（M，N）落在平行四边形内，故符合要求的G的只有4个，

落在平行四边形ABCD外（不含边界）的概率P==．

故答案为：

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题型：填空题

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填空题

如图，在一个等腰三角形ABC内以A为圆心，腰AC长为半径画弧交底边AB于D，已知AC=1，∠A=30°，现向△ABC内任投一点，该点落在图中阴影部分的概率为______．

正确答案

解析

解：由题意，本题是几何概型，三角形的面积为，扇形ACD的面积为，

由几何概型公式得到点落在图中阴影部分的概率为：；

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0．

（1）若a，b是从区间[0，3]任取的两个整数，求上述方程有实根的概率；

（2）若a，b是从区间[0，3]上任取的两个实数，求上述方程有实根的概率．

正确答案

解：设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实数根”．

当a≥0，b≥0时，方程x2+2ax+b2=0有实数根的充要条件为a≥b

（1）基本事件共16个：（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），

（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3）．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．

事件A中包含10个基本事件．

事件A发生的概率为P（A）=；

（2）试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤3}．

构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤3，a≥b}．

如图，

∴所求的概率P（A）=．

解析

解：设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实数根”．

当a≥0，b≥0时，方程x2+2ax+b2=0有实数根的充要条件为a≥b

（1）基本事件共16个：（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），

（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3）．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．

事件A中包含10个基本事件．

事件A发生的概率为P（A）=；

（2）试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤3}．

构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤3，a≥b}．

如图，

∴所求的概率P（A）=．

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题型：单选题

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单选题

设D是半径为R的圆周上的一定点，在圆周上随机取一点C，连接CD得一弦，则所得弦长大于圆内接等边三角形的边长的概率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：设“弦AB的长超过圆内接正三角形边长”为事件M，

以点A为一顶点，在圆中作一圆内接正三角形ACD，如右图所示，

则要满足题意点B只能落在劣弧CD上，又圆内接正三角形ACD恰好将圆周3等分，

故P（M）==，

故选：C．

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