几何概型_章节学习

1

题型：填空题

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填空题

在边长为2的正方形ABCD内任取一点P，则使点P到四个顶点的距离至少有一个小于1的概率是______．

正确答案

解析

解：正方形的面积为4，即D区域的面积为4；

在正方形内，点P到四个顶点的距离至少有一个小于1，即为以四个顶点为圆心，1为半径的四个四分之一圆

其面积为π，即d的区域面积为π；

由几何概型的概率公式可知P=．

故答案为：．

1

题型：单选题

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单选题

（2016•大连模拟）在区间[0，π]上随机地取两个数x、y，则事件“y≤sinx”发生的概率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：在区间[0，π]上随机地取两个数x、y，构成区域的面积为π2；

事件“y≤sinx”发生，区域的面积为=2，

∴事件“y≤sinx”发生的概率为．

故选：D．

1

题型：填空题

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填空题

一只蚂蚁在三边长分别为3、4、5的三角形面内爬行，某时间该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为______．

正确答案

1-

解析

解：三角形ABC的面积为=6，

离三个顶点距离都不大于1的地方的面积为S==，

所以其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为

P=1-=1-，

故答案为：1-．

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题型：简答题

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简答题

已知点P圆C：（x-1）2+y2=2内的任意一点，直线l：x-y+b=0

（1）求点P在第一象限的概率；

（2）若b∈（-3，3），求直线l与圆C没有公共点的概率．

正确答案

解：（1）如图：圆C：（x-1）2+y2=2，

由几何概型的概率公式得，点P在第一象限的概率即圆在第一象限部分的面积与圆面积的比值：．

所以点P在第一象限的概率为；

（2）直线l与圆C没有公共点，则圆心（1，0）到直线l：x-y+b=0的距离为，解得b＞1或者b＜-3，又b∈（-3，3），所以在此范围内直线l与圆C没有公共点的b∈（1，3），

所以由几何概型的概率公式得，b∈（-3，3），直线l与圆C没有公共点的概率．

解析

解：（1）如图：圆C：（x-1）2+y2=2，

由几何概型的概率公式得，点P在第一象限的概率即圆在第一象限部分的面积与圆面积的比值：．

所以点P在第一象限的概率为；

（2）直线l与圆C没有公共点，则圆心（1，0）到直线l：x-y+b=0的距离为，解得b＞1或者b＜-3，又b∈（-3，3），所以在此范围内直线l与圆C没有公共点的b∈（1，3），

所以由几何概型的概率公式得，b∈（-3，3），直线l与圆C没有公共点的概率．

1

题型：单选题

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单选题

向如图中所示正方形内随机地投掷飞镖，飞镖落在阴影部分的概率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：观察这个图可知：阴影部分是一个小三角形，

在直线AB的方程为6x-3y-4=0中，

令x=1得A（1，），

令y=-1得B（，-1）．

∴三角形ABC的面积为s=AC×BC=×（1+）（1-）=

∵图中正方形的面积为4，

∴飞镖落在阴影部分（三角形ABC的内部）的概率是：=．

故选：C．

1

题型：填空题

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填空题

已知函数f（x）=-x2+ax-b．若a，b都是从区间[0，4]任取的一个数，则f（1）＜0成立的概率是______．

正确答案

解析

解：f（1）=-1+a-b＞0，即a-b＞1，

如图，A（1，0），B（4，0），C（4，3），

S△ABC=，P===．

故答案为：

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题型：简答题

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简答题

（1）（理）若c=2，a，b是从{1，2，3，4，5，6}中任取的两个数（a，b可以相等），求a，b，c能构成三角形的概率；

（2）（理）若a，b是从（0，6）中任取的两个数（a，b可以相等），求构成以a，b为直角边，且c＜4的直角三角形的概率．

正确答案

解：（1）（理）满足不等式组，

即满足或的有：（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3），（4，4），（4，5），（5，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6）共15个．

所以a，b，c能构成三角形的概率为；

（2）（理）（a，b）可以看成平面中的点．

试验的全部结果所构成的区域为U={（a，b）|0＜a＜6，0＜b＜6}，

这是一个正方形区域，面积为SU=6×6=36．

记“a，b，c能构成三角形”为事件A，

则构成事件A的区域A={（a，b）|0＜a2+b2＜48，0＜a＜6，0＜b＜6}，

它表示的区域为图中阴影部分，其中OA=6，OB=4，∴∠AOB=30，

同样，∠DOC=30°∴∠BOC=30°，

∴A的面积

=2S△OAB+S扇形OBC=2×+

=6×2+

=12+4π．

由几何概型，

所以P（A）=．

解析

解：（1）（理）满足不等式组，

即满足或的有：（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3），（4，4），（4，5），（5，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6）共15个．

所以a，b，c能构成三角形的概率为；

（2）（理）（a，b）可以看成平面中的点．

试验的全部结果所构成的区域为U={（a，b）|0＜a＜6，0＜b＜6}，

这是一个正方形区域，面积为SU=6×6=36．

记“a，b，c能构成三角形”为事件A，

则构成事件A的区域A={（a，b）|0＜a2+b2＜48，0＜a＜6，0＜b＜6}，

它表示的区域为图中阴影部分，其中OA=6，OB=4，∴∠AOB=30，

同样，∠DOC=30°∴∠BOC=30°，

∴A的面积

=2S△OAB+S扇形OBC=2×+

=6×2+

=12+4π．

由几何概型，

所以P（A）=．

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题型：填空题

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填空题

任取实数a，b∈[-1，1]，则a，b满足|a-2b|≤2的概率为______．

正确答案

解析

解：∵a、b∈[-1，1]，

∴-1≤a≤1，-1≤b≤1，对应区域的面积为2×2=4，

不等式|a-2b|≤2对应的区域如图（阴影部分）：

当a=-1时有a-2b=-2得b=，

则阴影部分的面积为4-2××1×=，

由几何概型的概率公式可得a、b满足|a-2b|≤2的概率P=，

故答案为：．

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题型：单选题

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单选题

在正方形ABCD内任取一点P，则使∠APB＜90°的概率是（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：如图，设正方形的边长为a：

图中白色区域是以AB为直径的半圆

当P落在半圆内时，∠APB＞90°；

当P落在半圆上时，∠APB=90°；

当P落在半圆外时，∠APB＜90°；

故使∠APB＜90°的概率P==1-

故选C．

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题型：填空题

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填空题

在区间[1，4]和[2，4]内分别取一个数记为a，b，则方程=1表示焦点在x轴上的椭圆的概率为______．

正确答案

解析

解：若方程=1表示焦点在x轴上的椭圆，则a＞b

它对应的平面区域如下图中阴影部分所示

则方程=1表示焦点在x轴上的椭圆的概率P==；

故答案为：．

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正确答案

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