几何概型_章节学习

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题型：单选题

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单选题

已知三点A（2，1），B（1，-2），C（，-），动点P（a，b）满足0≤•≤2，且0≤•≤2，则动点P到点C的距离小于的概率为（　　）

A

B1-

C

D1-

正确答案

A

解析

解：∵A（2，1），B（1，-2），C（，-），∴•=2a+b，且•=a-2b，

∵0≤•≤2，且0≤•≤2，∴0≤2a+b≤2且0≤a-2b≤2，

作出不等式组对应的平面区域如图：

∵点P到点C的距离小于，

∴|CP|＜，则对应的部分为阴影部分，

由解得，

即E（，），|OE|==，

∴正方形OEFG的面积为，

则阴影部分的面积为，

∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率为，

故选：A．

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题型：单选题

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单选题

如图，是一个算法程序框图，在集合A={x|-10≤x≤10，x∈R}中随机抽取一个数值做为x输入，则输出的y值落在区间（-5，3）内的概率为（　　）

A0.4

B0.5

C0.6

D0.8

正确答案

D

解析

解：根据程序框图可知，其功能为计算y=，

∵输出的y值落在区间（-5，3），即-5＜y＜3，

①当x＜0时，y=x+3，

∴-5＜x+3＜3，解得-8＜x＜0，

故-8＜x＜0符合题意；

②当x=0时，y=0∈（-5，3），

故x=0符合题意；

③当x＞0时，y=x-5，

∴-5＜x-5＜3，解得0＜x＜8，

故0＜x＜8符合题意．

综合①②③可得，x的取值为（-8，8），

∵在集合A={x|-10≤x≤10，x∈R}中随机抽取一个数值做为x，

故输出的y值落在区间（-5，3）内的概率为==0.8．

故选：D．

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题型：填空题

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填空题

已知某地铁列车每8分钟一班，在车站停靠1分钟，则乘客到站台立即上车的概率为______．

正确答案

解析

解：由题意知本题是一个几何概型，

试验发生包含的事件是地铁列车每8min到站一次，共有8分钟

满足条件的事件是乘客到达站台立即乘上车，只要1分钟，

记“乘客到达站台立即乘上车”为事件A，

∴事件A发生的概率P=．

故答案为：．

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题型：单选题

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单选题

如图，大正方形靶盘的边长为5，四个全等的直角三角形围成一个小正方形，即阴影部分．较短的直角边长为3，现向大正方形靶盘投掷飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：∵大正方形靶盘的边长为5，即直角三角形的斜边等于5

∴根据较短的直角边长为3，可得另一条直角边长为=4

由此可得图中的小正方形的边长为4-3=1，

∴阴影部分小正方形的面积为S=1×1=1

∵大正方形的面积为S‘=5×5=25

∴飞镖落在阴影区域的概率为P==

故选：A

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题型：简答题

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简答题

已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2-2bx+1．

（1）设集合P={1，2}，Q={-1，1，2，3}，从集合P中随机取一个数作为a，从集合Q中随机取一个数作为b，求方程f（x）=0有两相等实根的概率；

（2）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．

正确答案

解：（1）若方程f（x）=0有两相等实根，则△=4b2-4a=0，即a=b2，

当a=1，b=±1，即满足条件的有2个，

则根据古典概型的概率公式可得方程f（x）=0有两相等实根的概率为：．

（2）∵a＞0，

∴若函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则对称轴x=，即b≤a，

作出不等式组对应的平面区域如图：

则A（8，0），B（0，8），C（4，4），

则由几何概型的概率公式可得函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率为．

解析

解：（1）若方程f（x）=0有两相等实根，则△=4b2-4a=0，即a=b2，

当a=1，b=±1，即满足条件的有2个，

则根据古典概型的概率公式可得方程f（x）=0有两相等实根的概率为：．

（2）∵a＞0，

∴若函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则对称轴x=，即b≤a，

作出不等式组对应的平面区域如图：

则A（8，0），B（0，8），C（4，4），

则由几何概型的概率公式可得函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率为．

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题型：单选题

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单选题

已知圆O：x2+y2=4（O为坐标原点），点P（1，0），现向圆O内随机投一点A，则点P到直线OA的距离小于的概率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：圆O：x2+y2=4（O为坐标原点），现向圆O内随机投一点A，

得到Ω={（x，y）|x2+y2≤4}，则SΩ=π•22=4π；

由于点P（1，0），点P到直线OA的距离小于，如图所示，

则∠AOP＜30°=，故阴影部分面积为=

则点P到直线OA的距离小于的概率为P=

故选：C．

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题型：简答题

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简答题

已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2-bx+1，分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数列（a，b）．

（1）若P={x|1≤x≤3，x∈Z}，Q={x|-1≤x≤4，x∈Z}，列举出所有的数对（a，b），并求函数y=f（x）有零点的概率；

（2）若P={x|1≤x≤3，x∈R}，Q={x|-1≤x≤4，x∈R}，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．

正确答案

解：（1）∵函数y=f（x）有零点，则△=b2-4a≥0即4a≤b2

如图，4a≤b2包含6个点：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），∴事件4a≤b2包含基本事件的个数是6个，而P={x|1≤x≤3，x∈Z}，Q={x|-1≤x≤4，x∈Z}，包含3×6个点，

∴所求事件的概率为=；

（2）函数f（x）=ax2-bx+1的图象的对称轴为x=，

当且仅当b≤2a且a＞0时，

函数f（x）=ax2-bx+1在区是间[1，+∞）上为增函数，

依条件可知试验的全部结果所构成的区域为；

P={x|1≤a≤3，x∈R}，Q={x|-1≤b≤4，x∈R}，

构成所求事件的区域为长方形部分．

而{（a，b）|1≤a≤3，-1≤b≤4，b≤2a且a＞0}包含的区域为图中的阴影部分．

∴所求事件的概率为P===．

解析

解：（1）∵函数y=f（x）有零点，则△=b2-4a≥0即4a≤b2

如图，4a≤b2包含6个点：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），∴事件4a≤b2包含基本事件的个数是6个，而P={x|1≤x≤3，x∈Z}，Q={x|-1≤x≤4，x∈Z}，包含3×6个点，

∴所求事件的概率为=；

（2）函数f（x）=ax2-bx+1的图象的对称轴为x=，

当且仅当b≤2a且a＞0时，

函数f（x）=ax2-bx+1在区是间[1，+∞）上为增函数，

依条件可知试验的全部结果所构成的区域为；

P={x|1≤a≤3，x∈R}，Q={x|-1≤b≤4，x∈R}，

构成所求事件的区域为长方形部分．

而{（a，b）|1≤a≤3，-1≤b≤4，b≤2a且a＞0}包含的区域为图中的阴影部分．

∴所求事件的概率为P===．

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题型：填空题

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填空题

点P是圆x2+y2+2x-3=0上任意一点，则点P在第一象限的概率为______．

正确答案

解析

解：如图：圆x2+y2+2x-3=0的圆心（-1，0），半径为2，

圆在第一象限部分的弧长为：×2．

圆的周长为：4π，

所以点P在第一象限的概率为：=．

故答案为：．

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题型：单选题

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单选题

某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，他等待的时间不多于10分钟的概率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：设A={等待的时间不多于10分钟}，

事件A恰好是打开收音机的时刻位于[50，60]时间段内，

因此由几何概型的求概率的公式可得p（A）==，

即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为；

故选C

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题型：填空题

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填空题

在边长为2的正方形ABCD的内部任取一点P，使得点P到正方形ABCD各顶点的距离都大于1的概率是______．

正确答案

解析

解：由题意，正方形的面积为2×2=4，使得点P到正方形ABCD各顶点的距离都大于1的P的集合为如图的阴影部分的面积为4-π，

由几何概型的公式点P到正方形ABCD各顶点的距离都大于1的概率是得；

故答案为：

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