几何概型_章节学习

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题型：填空题

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填空题

在等腰Rt△ABC中，在斜边AB上任取一点M，则AM的长小于AC的长的概率为______．

正确答案

解析

解：在AB上截取AC′=AC，

于是P（AM＜AC）=P（AM＜AC′）==．

答：AM的长小于AC的长的概率为．

故答案为：．

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题型：单选题

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单选题

在可行域内任取一点，其规则如流程图所示，则能输出数对（x，y）的概率是（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：满足条件的几何图形如下图中矩形所示，

满足条件的几何图形如下图中阴影所示

其中矩形面积为：，

阴影部分的面积为：，

则能输出数对（x，y）的概率P==，

故选：B

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题型：填空题

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填空题

已知顶点在坐标原点的抛物线C的准线方程为y=-1，在[-1，1]上任取两个数a，b，那么点（a，b）在抛物线C上方的概率为______．

正确答案

解析

解：∵准线方程y=-1，∴=1，解得p=2，

又知抛物线的焦点在y轴上，

故抛物线的方程为x2=4y，

在[-1，1]上任取两个数a，b，故 ①，

点（a，b）在抛物线C上方，则a2-4b＜0②

如图：

故点（a，b）在抛物线C上方的概率为阴影部分的面积和①所对应的正方形的面积之比．

红色阴影部分的面积为 dx=x3=，

所以点（a，b）在抛物线C上方的概率为 =．

故答案为：．

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题型：单选题

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单选题

一个边长为200米的正方形区域的中心有一个监测站，若向此区域内随机投放一个爆炸物，则爆炸点距离监测站100米内都可以被检测到．那么向正方形区域内随机投放一个爆炸物被监测到的概率是（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：试验的区域即为边长200米的正方形区域，面积为200×200平方米

记“随机投放一个爆破点被监测到”为事件A．

则包含A的区域为半径为100的圆，其面积为π×1002平方米，

根据几何概率的计算公式可得P（A）==．

故选C．

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题型：填空题

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填空题

已知函数RAND可以产生区间[0，1]上的均匀随机数，若a1=RAND，b1=RAND且x=10（a1-0.5），y=10b1，（x，y）为点M的坐标，则点M满足x＜y＜x+5的概率是______．

正确答案

解析

解：（1）若x∈[-5，0]（概率50%），则y＞x概率为1，y＜x+5概率是50%

故满足x＜y＜x+5概率是25%

（2）若x∈[0，5]（概率50%），则y＞x概率为50%，y＜x+5概率是50%

故满足x＜y＜x+5概率是12.5%

综合（1）（2），满足x＜y＜x+5的概率是．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

先后随机投掷2枚正方体骰子，其中x表示第1枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现的点数．

（Ⅰ）求点P（x，y）在直线y=x-1上的概率；

（Ⅱ）求点P（x，y）满足y2＜4x的概率；

（Ⅲ）求在已知x=3的条件下，y≥4的概率．

正确答案

解：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，

∵试验发生包含的总事件数每颗骰子出现的点数都有6种情况，

基本事件总数为6×6=36个，

记“点P（x，y）在直线y=x-1上”为事件A，

A有5个基本事件：A={（2，1），（3，2），（4，3），（5，4），（6，5）}，

∴P（A）=；

（Ⅱ）∵试验发生包含的总事件数每颗骰子出现的点数都有6种情况，

基本事件总数为6×6=36个，

记“点P（x，y）满足y2＜4x”为事件B，

事件B有17个基本事件：

当x=1时，y=1；

当x=2时，y=1，2；

当x=3时，y=1，2，3；

当x=4时，y=1，2，3；

当x=5时，y=1，2，3，4；

当x=6时，y=1，2，3，4，

∴P（B）=

（III）在已知x=3的条件下的事件关于6个基本事件，而x=3，y≥4的事件为C，事件C包括x=3，y=4；x=3，y=5，x=3，y=6共有3个，

∴在已知x=3的条件下，y≥4的概率P（C）=．

解析

解：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，

∵试验发生包含的总事件数每颗骰子出现的点数都有6种情况，

基本事件总数为6×6=36个，

记“点P（x，y）在直线y=x-1上”为事件A，

A有5个基本事件：A={（2，1），（3，2），（4，3），（5，4），（6，5）}，

∴P（A）=；

（Ⅱ）∵试验发生包含的总事件数每颗骰子出现的点数都有6种情况，

基本事件总数为6×6=36个，

记“点P（x，y）满足y2＜4x”为事件B，

事件B有17个基本事件：

当x=1时，y=1；

当x=2时，y=1，2；

当x=3时，y=1，2，3；

当x=4时，y=1，2，3；

当x=5时，y=1，2，3，4；

当x=6时，y=1，2，3，4，

∴P（B）=

（III）在已知x=3的条件下的事件关于6个基本事件，而x=3，y≥4的事件为C，事件C包括x=3，y=4；x=3，y=5，x=3，y=6共有3个，

∴在已知x=3的条件下，y≥4的概率P（C）=．

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题型：填空题

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填空题

如图，E、F、G、H分别是矩形ABCD的四条边的中点，向矩形ABCD所在的区域投针，则针尖在四边形EFGH内的概率为______．

正确答案

解析

解：∵如图，E、F、G、H分别是矩形ABCD的四条边的中点，

∴S四边形EFGH=S矩形ABCD-4S△AEH=AB•AD-4×=

则针尖在四边形EFGH内的概率为P==．

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

如图所示，边长为4正三角形内有一个半径是1的圆，随机在正三角形内取一点，则该点在圆内的概率是______．

正确答案

解析

解：∵正三角形的边长为4，

∵正三角形的面积S三角形=，

其内圆半径为1，内圆面积S圆=πr2=π，

故向正三角形内撒一粒豆子，则豆子落在圆内的概率P==；

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

在闭区间[-2，2]上随机的取两个实数a和b，则使得关于x的二次方程ax2-bx+a=0有实数根的概率是______．

正确答案

解析

解：在闭区间[-2，2]上随机的取两个实数a和b，

则-2＜a＜2且-2＜b＜2，对应的区域为正方形，

面积S=4×4=16，

关于x的二次方程ax2-bx+a=0有实数根，则△=b2-4a2≥0，（a≠0）

即b2≥4a2，∴（b-2a）（b+2a）≥0，

作出不等式组对应的平面区域如图两个三角形及内部，

则它们的面积之和为=4，

则由几何概型的概率公式可得关于x的二次方程

ax2-bx+a=0有实数根的概率为．

故答案为：

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题型：填空题

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填空题

在区间[0，1]上任取两个数a，b，方程x2+ax+b2=0的两根均为实数的概率为______．

正确答案

0.25

解析

解：∵方程x2+ax+b2=0的两根均为实数，∴△=a2-4b2≥0，

∵a，b是区间[0，1]上任取的两个数，∴a≥2b

建立平面直角坐标系，两坐标轴分别为a轴，b轴，不等式表示a=2b的下方区域，

其面积为=0.25

∵正方形区域的面积为1

∴方程x2+ax+b2=0的两根均为实数的概率为0.25

故答案为：0.25．

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