几何概型_章节学习

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题型：填空题

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填空题

如图，等边△DEF的顶点D，E，F分别在等边△ABC的边AB，BC，CA上，且=，若在△ABC内随机取一点，则该点取自△DEF内部的概率为______．

正确答案

解析

解：如图，在△ABC内部随机取一点，则总的基本事件对应的区域为三角形ABC

要使该点取自△ABE内部，则所含的基本事件对应的区域为△DEF，

所以所求该点取自△DEF内部的概率就是两部分的面积比，

由已知等边△DEF的顶点D，E，F分别在等边△ABC的边AB，BC，CA上，且=，则，

∴△ADF，△BED，△CFE都是直角三角形，

∴，，

∴该点取自△DEF内部的概率为；

故答案为：．

1

题型：单选题

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单选题

在半径为1的圆内任取一点，以该点为中点作弦，则所做弦的长度超过的概率是（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：如图，C是弦AB的中点，在直角三角形AOC中，AC=AB=，

OA=1，∴OC=．

∴符合条件的点必须在半径为圆内，

则所做弦的长度超过的概率是P===．

故选B．

1

题型：单选题

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单选题

已知O是正三角形ABC内部一点，+2+3=，在三角形ABC内随机撒一粒黄豆，落在三角形AOC内的概率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：如图所示，

由+2+3=变形为+3=-2．

以、3所在的线段OA、OE为邻边作平行四边形OAFE．

设对角线OF与AC交与点D．

则=-2．

∴，

∴=，化为=，即=．

∴△AOC与△ABC的面积的比值=．

∴在三角形ABC内随机撒一粒黄豆，落在三角形AOC内的概率为．

故选：B．

1

题型：单选题

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单选题

在平面内，若过正三角形ABC的顶点A任作一条直线l，则l与边BC相交的概率是（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：作出如图的模型，可以看出l与边BC相交，则其一定出现在AB，AC两者的内部，由于角BAC=60°，由图形知，l与边BC相交的概率是

故选A．

1

题型：填空题

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填空题

在区间[-2，5]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m=______．

正确答案

4

解析

解：∵区间[-2，5]的区间长度为5-（-2）=7，

∴随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则x位于的区间长度为7×=6．

因此x所在的区间为[-2，4]，

∵m＞0，得|x|≤m的解集为{m|-m≤x≤m}=[-m，m]，

∴[-m，m]与[-2，5]的交集为[-2，4]，可得m=4．

故答案为：4

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题型：填空题

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填空题

如图，在正方形内有一扇形，扇形对应的圆心是正方形的一顶点，半径为正方形的边长．在这个图形上随机撒一粒黄豆，它落在阴影部分的概率为______．（用分数表示）

正确答案

解析

解：令正方形的边长为a，则S正方形=a2，

则扇形所在圆的半径也为a，则S扇形=

则黄豆落在阴影区域的概率P=1-=．

故答案为：．

1

题型：单选题

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单选题

（2015秋•广西期末）在区间[-3，5]上随机取一个实数a，则使函数f（x）=x2+2ax+4无零点的概率是（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：由已知区间[-3，5]长度为8，

使函数f（x）=x2+2ax+4无零点，即判别式△=4a2-16＜0，解得-2＜a＜2，即（-2，2），区间长度为4，

由几何概型的公式得使函数f（x）=x2+2ax+4无零点的概率是；

故选：B．

1

题型：简答题

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简答题

已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为（x，y）

（1）当x，y∈Z时，求P的坐标满足x+y≥1的概率．

（2）当x，y∈R时，求P的坐标满足x+y≥1的概率．

正确答案

解：由|x|≤2得-2≤x≤2，由|y|≤2得-2≤y≤2，

（1）当x，y∈Z时，这是一个古典概型x∈{-2，-1，0，1，2}，y∈{-2，-1，0，1，2}…（1分）

总的基本事件个数是5×5=25种．…（2分）

记“P的坐标满足x+y≥1”为事件A…（3分）

事件A包含的基本事件有（-1，2），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，-1）（2，0），（2，1），（2，2）共10种．…（5分）

由古典概型的概率公式得…（6分）

答：P的坐标满足x+y≥1的概率是…（7分）

（2）当x，y∈R时，这是一个几何概型

试验的全部结果构成的区域为Ω={（x，y）|-2≤x≤2，-2≤y≤2}…（8分）

表示平面上的面积为SΩ=4×4=16…（9分）

记“P的坐标满足x+y≥1”为事件B…（10分）

所构成的区域为B={（x，y）|-2≤x≤2，-2≤y≤2，x+y≥1}即下图阴影部分面积为…（12分）

所以…（13分）

答：P的坐标满足x+y≥1的概率是…（14分）

解析

解：由|x|≤2得-2≤x≤2，由|y|≤2得-2≤y≤2，

（1）当x，y∈Z时，这是一个古典概型x∈{-2，-1，0，1，2}，y∈{-2，-1，0，1，2}…（1分）

总的基本事件个数是5×5=25种．…（2分）

记“P的坐标满足x+y≥1”为事件A…（3分）

事件A包含的基本事件有（-1，2），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，-1）（2，0），（2，1），（2，2）共10种．…（5分）

由古典概型的概率公式得…（6分）

答：P的坐标满足x+y≥1的概率是…（7分）

（2）当x，y∈R时，这是一个几何概型

试验的全部结果构成的区域为Ω={（x，y）|-2≤x≤2，-2≤y≤2}…（8分）

表示平面上的面积为SΩ=4×4=16…（9分）

记“P的坐标满足x+y≥1”为事件B…（10分）

所构成的区域为B={（x，y）|-2≤x≤2，-2≤y≤2，x+y≥1}即下图阴影部分面积为…（12分）

所以…（13分）

答：P的坐标满足x+y≥1的概率是…（14分）

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题型：填空题

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填空题

在平面直角坐标系xOy中，设D是由不等式组表示的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向E中随机投一点，则所投点落在D中的概率是______．

正确答案

解析

解析：根据题意可得点M（x，y）满足，

其构成的区域D如图所示的三角形，

面积为S1=1，

E所表示的平面区域是以原点为圆心，以1为半径的圆及其内部，

面积为S2=π，

故向E中投一点，落入D中的概率为P==．

故答案为．

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题型：填空题

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填空题

若函数y=k（x+1）的图象上存在点（x，y）满足约束条件，则函数y=k（x+1）的图象与圆（x-4）2+（y-3）2=2有公共点的概率为______．

正确答案

解析

解：由约束条件，作出可行域如图，

直线y=k（x+1）过定点P（-1，0），

由图可知A（2，），B（0，），

则kPA=，kPB=，

∴，

函数y=k（x+1）的图象与圆（x-4）2+（y-3）2=2有公共点，则，解得-1≤k≤，

所以函数y=k（x+1）的图象与圆（x-4）2+（y-3）2=2有公共点的概率为：．

故答案为：．

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