几何概型_章节学习

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题型：填空题

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填空题

（2014秋•南安市校级月考）在区间[0，a]（a≥10）上随机选取一个数x，若数x落在[0，10]的概率为，则a=______．

正确答案

40

解析

解：由题意，全部事件的区间长度为a，数x落在[0，10]的区间长度为10，

所以所求事件的概率为=，

所以a=40．

故答案为：40．

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题型：填空题

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填空题

（2016•潍坊一模）如图，在边长为1的正方形OABC中任取一点，则该点落在阴影部分中的概率为______．

正确答案

解析

解：根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，

由函数y=x与y=围成阴影部分的面积为∫01（-x）dx=（-）|01=，

由于y=x2与y=互为反函数，所以阴影部分的面积为，

则正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为．

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

在区间[-2，3]上任取一个数a，则函数f（x）=x3-ax2+（a+2）x有极值的概率为______．

正确答案

解析

解：在区间[-2，3]上任取一个数a，

则-2≤a≤3，对应的区间长度为3-（-2）=5，

若f（x）=x3-ax2+（a+2）x有极值，

则f‘（x）=x2-2ax+（a+2）=0有两个不同的根，

即判别式△=4a2-4（a+2）＞0，

解得a＞2或a＜-1，

∴-2≤a＜-1或2＜a≤3，

则对应的区间长度为-1-（-2）+3-2=1+1=2，

∴由几何概型的概率公式可得对应的概率P=，

故答案为：

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题型：简答题

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简答题

二次函数f（x）=ax2+2bx+1（a≠0）．

（1）若a∈{-2，-1，2，3}，b∈{0，1，2}，求函数f（x）在（-1，0）内有且只有一个零点的概率；

（2）若a∈（0，1），b∈（-1，1），求函数f（x）在（-∞，-1）上为减函数的概率．

正确答案

解：（1）由题意可得所有的（a，b）共有4×3=12个，根据f（x）在（-1，0）内有且只有一个零点，且f（0）=1，

故有f（-1）=a-2b+1＜0，即 a＜2b-1，故满足条件的（a，b）有（-2，0）、（-2，-1）、（-2，2）、

（-1，1）、（-1，2）、（2，2），共计6个，

∴所求事件的概率为 =．

（2）若a∈（0，1），b∈（-1，1），函数f（x）在（-∞，-1）上为减函数，即-≥-1，求得b≤a．

而所有的点（a，b）构成的区域为{（a，b）|0＜a＜1，且-1＜b＜1}，如图所示：

故函数f（x）在（-∞，-1）上为减函数的概率为==．

解析

解：（1）由题意可得所有的（a，b）共有4×3=12个，根据f（x）在（-1，0）内有且只有一个零点，且f（0）=1，

故有f（-1）=a-2b+1＜0，即 a＜2b-1，故满足条件的（a，b）有（-2，0）、（-2，-1）、（-2，2）、

（-1，1）、（-1，2）、（2，2），共计6个，

∴所求事件的概率为 =．

（2）若a∈（0，1），b∈（-1，1），函数f（x）在（-∞，-1）上为减函数，即-≥-1，求得b≤a．

而所有的点（a，b）构成的区域为{（a，b）|0＜a＜1，且-1＜b＜1}，如图所示：

故函数f（x）在（-∞，-1）上为减函数的概率为==．

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题型：填空题

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填空题

从（0，2）中，随机地取两个数，两数之和小于0.8的概率为______．

正确答案

0.08

解析

解：设取出两个数为x，y，则，

若这两数之和小于0.8，则有，

根据几何概型，原问题可以转化为求不等式组表示的区域与表示区域的面积之比问题，

表示区域的面积为0.32，表示区域的面积为4

则两数之和小于0.8的概率P==0.08

故答案为：0.08．

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题型：单选题

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单选题

假设在时间间隔T内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进入同一台手机．若这两条短信进入手机的间隔时间不大于t（0＜t＜T）称手机受到干扰，则手机受到干扰的概率是（　　）

A（）2

B（1-）2

C1-（）2

D1-（1-）2

正确答案

D

解析

分别设两个互相独立的短信收到的时间为x，y．则所有事件集可表示为0≤x≤T，0≤y≤T．

由题目得，如果收音机受则到干扰的事件发生，必有|x-y|≤t．

三个不等式联立，则该事件即为

x-y=t 和 y-x=t 在 0≤x≤T，0≤y≤T 的正方形中围起来的图形．

即图中阴影区域

而所有事件的集合即为正方型面积T2，

阴影部分的面积=T2-（T-t）2，

所以阴影区域面积和正方形面积比值即为干扰发生的概率

为=1-（1-）2，

故选：D

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题型：填空题

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填空题

已知点E在△ABC的边AB上，AE=2EB在边AC上任意取一点P．则△AEP的面积恰好小于△ABC面积的一半的概率为______．

正确答案

解析

解：如图

设AP=x，当△AEP的面积恰好等于于△ABC面积的一半时，

S△AEP=AE•x•sinA=S△ABC=•AB•AC•sinA，

即•AB•x•sinA=AB•AC•sinA，解得x=AC，

故所求的概率P==

故答案为：

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题型：单选题

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单选题

如图，设圆弧x2+y2=1（x≥0，y≥0）与两坐标轴正半轴围成的扇形区域为M，过圆弧上一点A做该圆的切线与两坐标轴正半轴围成的三角形区域为N．现随机在区域N内投一点B，若设点B落在区域M内的概率为P，则P的最大值为（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：由题意，若点B落在区域M内的概率为P，P取最大，

则过圆弧上一点A做该圆的切线与两坐标轴正半轴围成的三角形区域为N的面积最小，即直角三角形斜边长最小．

设∠AOx=α，则直角三角形斜边长为tanα+≥2，

当且仅当α=45°时，直角三角形斜边长最小直角三角形斜边长最小，此时三角形的面积为1，

∴P的最大值为=．

故选：D．

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题型：单选题

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单选题

设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离小于2的概率是（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：区域D：表示矩形，面积为3．

到坐标原点的距离小于2的点，位于以原点O为圆心、半径为2的圆内，则图中的阴影面积为+=

∴所求概率为P=

故选：D．

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题型：单选题

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单选题

在棱长为3的正方体内任取一点P，则点P到该正方体的六个面的距离的最小值不大于1的概率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：由题意，符合点P到该正方体的六个面的距离的最小值不大于1的区域是以正方体的中心为中心棱长为1的正方体外部，根据几何概型公式可得点P到该正方体的六个面的距离的最小值不大于1的概率为1-；

故选：D．

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