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题型:简答题
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简答题 · 18 分

已知函数,数列的前项和为,且对一切正整数,点都在函数的图像上。

(1)求数列的通项公式;

(2)设,等差数列的任一项,其中中最的小数,且,求的通项公式;

(3)设数列满足,是否存在正整数,使得成等比数列?若存在,求出所有的的值;若不存在,请说明理由.

正确答案

见解析

解析

(1)∵点都在函数的图像上,∴,………(2分)

时,

时,

时,也满足。

。                                                    ………(4分)

(2)∵

,又  ∵,∴  即数列的公差是4 的倍数………(6分)

中的最小数为6,∴,∴

又∵

 解得。                                  ………(8分)

等差数列的公差为,由得    故………(10分)

(3) 由 所以,     ………(12分)

成等比数列,则

,    ……………(14分)

可得,所以

从而,  ………(16分)

,且,所以,此时

故当且仅当.使得成等比数列………(18分)

知识点

函数单调性的性质
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

一组数据9.8, 9.9, 10,a, 10.2的平均数为10,则该组数据的方差为      .

正确答案

0.02

解析

由已知先求得,故

知识点

函数单调性的性质
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

设函数的最大值为,最小值为,其中

(1)求的值(用表示);

(2)已知角的顶点与平面直角坐标系中的原点重合,始边与轴的正半轴重合,终边经过点,求的值。

正确答案

见解析

解析

解(1) 由题可得

所以,    

(2) 终边经过点

, 则

所以,

时,

所以,     ,。

综上所述  

知识点

函数单调性的性质
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比,比例系数为.轮船的最大速度为海里/小时.当船速为海里/小时,它的燃料费是每小时元,其余航行运作费用(不论速度如何)总计是每小时元.假定运行过程中轮船以速度匀速航行。

(1)求的值;(2)求该轮船航行海里的总费用(燃料费+航行运作费用)的最小值。

正确答案

(1)0.96(2)2400(元)

解析

解析:(1)由题意得燃料费,………………………………2分

=10,代入得=0.96.………………………………………………6分

(2),……………………………………9分

=,………………………11分

其中等号当且仅当时成立,解得

所以,该轮船航行海里的总费用的最小值为2400(元).

知识点

函数单调性的性质
1
题型:简答题
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简答题 · 16 分

对于函数,若存在实数对(),使得等式对定义域中的每一个都成立,则称函数是“()型函数”。

(1)判断函数是否为“()型函数”,并说明理由;

(2)已知函数是“(1,4)型函数”, 当时,都有成立,且当时,,若,试求的取值范围。

正确答案

见解析

解析

(1)函数是“()型函数”

因为由,得,所以存在这样的实数对,如

(2) 由题意得,,所以当时, ,其中,

时,,且其对称轴方程为,

①       当,即时,上的值域为,即,则上的值域为,由题意得,此时无解

②当,即时,的值域为,即,所以则 上的值域为,则由题意得,解得

③       当,即时,的值域为,即,则上的值域为=,

,解得.

综上所述,所求的取值范围是

知识点

函数单调性的性质
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