- 函数模型及其应用
- 共3934题
有以下4个命题：
①函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）与函数g（x）=log aax（a＞0且a≠1）的定义域相同；
②函数f（x）=x3与函数g（x）=3x的值域相同；
③函数f（x）=（x-1）2与g（x）=2 x-1在（0，+∞）上都是增函数；
④如果函数f（x）有反函数f -1（x），则f（x+1）的反函数是f -1（x+1）．
其中不正确的题号为______．
正确答案
①函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）的定义域是R，
函数g（x）=log aax（a＞0且a≠1）的定义域也是R，故①正确；
②函数f（x）=x3的值域是R，函数g（x）=3 x的值域是R+，故②不正确；
③函数f（x）=（x-1）2在（0，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数，
g（x）=2 x-1在（0，+∞）上是增函数，故③不正确；
④如果函数f（x）有反函数f -1（x），则f（x+1）的反函数是f -1（x）-1，故④不正确．
故答案为：②③④．
已知a＞0，设p：函数y=ax在R上单调递减；命题q：方程
正确答案
若p为真，则0＜a＜1，
若q为真，则（a-2）（a-0.5）＜0，解得0.5＜a＜2
∵“p或q”为真，“p且q”为假，
∴p真q假，或p假q真
若p真q假，则
若p假q真，则
综上所述，a∈（0，0.5]∪[1，2）
已知命题p：|x-1|+|x+1|≥3a恒成立，命题q：y=（2a-1）x为减函数，若p且q为真命题，则a的取值范围是______．
正确答案
∵p且q为真命题，
∴命题p与命题q均为真命题．
当命题p为真命题时：
∵|x-1|+|x+1|≥3a恒成立，
∴只须|x-1|+|x+1|的最小值≥3a即可，
而有绝对值的几何意义得|x-1|+|x+1|≥2，
即|x-1|+|x+1|的最小值为2，
∴应有：3a≤2，解得：a≤
当命题q为真命题时：
∵y=（2a-1）x为减函数，
∴应有：0＜2a-1＜1，解得：
综上①②得，a的取值范围为：
故答案为：（
已知a＞0，设命题p：函数y=ax在R上单调递增；命题q：不等式ax2-ax+1＞0对?x∈R恒成立．若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围．
正确答案
如图，是函数y=(
（1）给出如下两个命题：①当x＜x1时，(
（2）求证：x2∈（0，1）．
正确答案
（1）命题①是假命题，可以举反例：取x=-10，则x＜x1，但是(
命题②是真命题，∵函数y=(
∴当x＞x2时，(
（2）构造函数f(x)=3x2-(
∴f（x）在区间（0，1）内有零点，又∵函数f(x)=3x2-(
∴f（x）在区间（0，1）内的零点唯一，即x2，
∴x2∈（0，1）；
已知命题p：函数y=log0.5（x2+2x+a）的定义域为R，命题q：函数y=（
正确答案
∵命题p：函数y=log0.5（x2+2x+a）的定义域为R，
∴x2+2x+a＞0，在x∈R上恒成立，∴△＜0，即4-4a＜0，⇒a＞1，
∵命题q：函数y=（
∴0 ＜
∵若p或q为真命题，p且q为假命题，
∴p和q有一个为真命题，
若p为真，q为假；a≥2，
若p为假，q为真，
∴实数a的取值范围：
由命题“存在x∈R，使e|x-1|-m≤0”是假命题，得m的取值范围是（-∞，a），则实数a的值是______．
正确答案
∵命题“存在x∈R，使e|x-1|-m≤0”是假命题
∴对于任意的x∈R，e|x-1|-m＞0都成立，即m＜e|x-1| 恒成立．
又∵|x-1|≥0．∴e|x-1|≥1∴m＜1．所以a=1
故答案为：1
某工厂为了提高经济效益，决定花5600千元引进新技术，同时适当进行裁员．已知这家公司现有职工m人，每人每年可创利100千元．据测算，若裁员人数不超过现有人数的20%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利1千元；若裁员人数超过现有人数的20%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利2千元．为保证公司的正常运转，留岗的员工数不得少于现有员工人数的75%．为保障被裁员工的生活，公司要付给被裁员工每人每年20千元的生活费．
（1）若m=400时，要使公司利润至少增加10%，那么公司裁员人数应在什么范围内？
（2）若m=20k，且15＜k＜50，为了获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？
正确答案
设该公司应裁员x人，x∈N*，所获得利润为y．
（1）m=400时，若0≤x≤80
公司所获利润y=（400-x）（100+x）-20x-5600
要使公司利润至少增加10%那么（400-x）（100+x）-20x-5600≥400×100×（1+10%）x2-280x+9600≤0又0≤x≤80所以40≤x≤80．
若80≤x≤100公司所获利润y=（400-x）（100+2x）-20x-5600
要使公司利润至少增加10%那么（400-x）（100+2x）-20x-5600≥400×100×（1+10%）x2-340x+4800≤0它在80≤x≤100时成立
所以40≤x≤100时公司利润至少增加10%．
（2）设公司裁员x人，所获得利润为y千元．则
y=
=
=
设f1（x）=-（x-（10k-60））2+2000k-5600+（10k-60）2，0≤x≤4k，
因为10k-60＞150-60=90＞4k．所以当x=4k时，函数f1（x）取最大值为：
f1（x）max=64k2+80k-5600．
设f2（x）=-2（x-（10k-30））2+2000k-5600+2（10k-30）2，4k＜x≤5k，
因为10k-30＞150-30=120＞5k．所以当x=5k时，函数f2（x）取最大值为：
f1（x）max=150k2+50k-5600．f2（x）-f1（x）=86k2-30k＞0．
所以当x=5k时公司可获得最大利润．
“长为L （米）的大型机器零件，在通过传送带的流水线时，为安全起见，零件之间的距离不得小于 kLv2（米）．其中v （米/时）是流水线的流速，k为比例系数．现经测定，当流速为60 （米/时） 时，零件之间的安全距离为1.44L．
（1）根据给出数据求出比例系数k；
（2）写出流水线上的流量y 关于流水线流速v 的函数关系式； （流量是单位时间内通过的零件数，即 
（3）应该规定多大的流速，才能使同一流水线上的零件流量最大？最大流量是多少？
正确答案
（1）由题意d=kLv2，将流速为60（米/时），安全距离为1.44L代入，可求得1.44L=kL×（60）2，
∴k=
（2）由流量=
（3）由题意y=
已知集合A={x|9x-10•3x+9≤0}，求函数y=(（x∈A）的值域．
正确答案
由9x-10•3x+9≤0，得（3x-1）（3x-9）≤0，所以1≤3x≤9，可得0≤x≤2
设(
所以y=(
1
4
)x-1-4•(
1
2
)x +2=g(t)，
g(t)=4(t-
当t=
所以函数y=(（x∈A）的值域为[1，2]
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