- 椭圆及其性质
- 共629题
18.已知是椭圆
上任意一点,
是线段
的中点,则
有( )
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
已知中心在原点的椭圆C的右焦点为,离心率等于
,则C的方程是
正确答案
解析
由焦点可知可知椭圆焦点在
轴上,由题意知
,所以
,故椭圆标准方程为
知识点
已知,则双曲线
:
与
:
的()
正确答案
解析
在双曲线:
与
:
中,都有
,即焦距相等
知识点
已知椭圆的一个顶点为
,离心率为
, 直线
与椭圆
交于不同的两点
。
(1)求椭圆的方程
(2)当的面积为
时,求
的值。
正确答案
(1);(2)
解析
(1)由题意得
解得。
所以椭圆的方程为
。
(2)由 得
。
设点,
的坐标分别为
,
,则
,
,
,
。
所以
。
又因为点到直线
的距离
,
所以的面积为
。
由,解得
知识点
设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2。点
满足
(1)求椭圆的离心率;
(2)设直线PF2与椭圆相交于A,B两点,若直线PF2与圆相交于M,N两点,且
,求椭圆的方程。
正确答案
(1) (2)
解析
(1)解:设,因为
,
所以,整理得
(舍)
或
(2)解:由(Ⅰ)知,可得椭圆方程为
,直线FF2的方程为
A,B两点的坐标满足方程组消去
并整理,得
。解得
,得方程组的解
不妨设,
,所以
于是
圆心到直线PF2的距离
因为,所以
整理得,得
(舍),或
所以椭圆方程为
知识点
设,
是椭圆
:
=1(
>
>0)的左、右焦点,
为直线
上一点,△
是底角为
的等腰三角形,则
的离心率为( )
正确答案
解析
∵△是底角为
的等腰三角形,
∴,
,∴
=
,∴
,∴
=
,故选C.
知识点
设椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为( )。
正确答案
解析
如图所示,在Rt△PF1F2中,|F1F2|=2c,
设|PF2|=x,则|PF1|=2x,
由tan 30°=,得
.
而由椭圆定义得,|PF1|+|PF2|=2a=3x,
∴,∴
知识点
已知椭圆(a>b>0)与双曲线
有公共的焦点,C2的一条渐近线与C1C2的长度为直径的圆相交于
两点.若C1恰好将线段
三等分,则
正确答案
解析
略
知识点
已知椭圆a>b>0),点P(
,
)在椭圆上。
(1)求椭圆的离心率;
(2)设A为椭圆的左顶点,O为坐标原点,若点Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|,求直线OQ的斜率的值。
正确答案
(1) ; (2)
解析
(1)因为点P(,
)在椭圆上,故
,可得
。
于是,所以椭圆的离心率
。
(2)设直线OQ的斜率为k,则其方程为y=kx,设点Q的坐标为(x0,y0)。
由条件得消去y0并整理得
。①
由|AQ|=|AO|,A(-a,0)及y0=kx0,得(x0+a)2+k2x02=a2,整理得(1+k2)x02+2ax0=0,而x0≠0,故,代入①,整理得(1+k2)2=4k2·
+4。
由(1)知,故(1+k2)2=
k2+4,
即5k4-22k2-15=0,可得k2=5。
所以直线OQ的斜率
知识点
已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为
,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线于C相交于A、B两点,若
。则k =
正确答案
解析
,∵
,∴
, ∵
,设
,
,∴
,直线AB方程为
。代入消去
,∴
,∴
,
,解得
,
知识点
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