- 椭圆及其性质
- 共629题
已知椭圆C的中心在原点,一个焦点F(-2,),且长轴长与短轴长的比是2:。
(1)求椭圆C的方程;
(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上,点P是椭圆上任意一点,若当最小时,点P恰好落在椭圆的右顶点上,求实数m的取值范围。
正确答案
见解析。
解析
(1)设椭圆的方程为
.
由题意有:,
解得.
故椭圆的方程为
.
(2)设为椭圆上的动点,由于椭圆方程为
,故
.
因为,所以
因为当最小时,点
恰好落在椭圆的右顶点,即当
时,
取得最小值,而
,
故有,解得
,
又点在椭圆的长轴上,即
,
故实数的取值范围是
,
知识点
已知椭圆,
、
是椭圆的左右焦点,且椭圆经过点
.
(1)求该椭圆方程;
(2)过点且倾斜角等于
的直线
,交椭圆于
、
两点,求
的面积.
正确答案
(1)(2)
解析
(1),则椭圆方程为
.
(2)设,
,直线
.
由,
,
.
知识点
已知可行域的外接圆C与x轴交于点A1、A2,椭圆C1以线段A1A2为长轴,离心率
。
(1)求圆C及椭圆C1的方程;
(2)设椭圆C1的右焦点为F,点P为圆C上异于A1、A2的动点,过原点O作直线PF的垂线交直线于点Q,判断直线PQ与圆C的位置关系,并给出证明。
正确答案
见解析
解析
(1)由题意可知,可行域是以及点
为顶点的三角形,
∵,∴
为直角三角形,
∴外接圆C以原点O为圆心,线段A1A2为直径,故其方程为。
∵2a=4,∴a=2,又,∴
,可得
。
∴所求椭圆C1的方程是。
(2)直线PQ与圆C相切,设,则
。
当时,
,∴
;
当时,
∴直线OQ的方程为,因此,点Q的坐标为
。
∵,
∴当时,
,
;
当时候,
,∴
。
综上,当时候,
,故直线PQ始终与圆C相切。
知识点
已知椭圆过点
和点
。
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆
相交于不同的两点
,
,是否存在实数
,使得
?若存在,求出实数
;若不存在,请说明理由。
正确答案
见解析
解析
(1)因为椭圆过点
和点
,
所以,由
,得
。
所以椭圆的方程为
,……………5分
(2)假设存在实数满足题设,
由 得
。
因为直线与椭圆有两个交点,所以,即
。 ①
设MN的中点为,
分别为点
的横坐标,
则,从而
,
所以。
因为,所以
。
则,而
,所以
。
即,此与 ① 矛盾。
因此,不存在这样的实数,使得
,…………………13分
知识点
已知椭圆的右焦点
,长轴的左、右端点分别为
,且
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过焦点斜率为
(
)的直线
交椭圆
于
两点,弦
的垂直平分线与
轴相交于
点. 试问椭圆
上是否存在点
使得四边形
为菱形?若存在,求
的值;若不存在,请说明理由。
正确答案
见解析
解析
(1)依题设,
,则
,
.
由,解得
,所以
.所以椭圆
的方程为
.
(2)依题直线的方程为
.由
得
.设
,
,弦
的中点为
,则
,
,
,
,所以
.直线
的方程为
,令
,得
,则
.若四边形
为菱形,则
,
.所以
.若点
在椭圆
上,则
.整理得
,解得
.所以椭圆
上存在点
使得四边形
为菱形。
知识点
如图,已知点为椭圆
的右焦点,圆
,与椭圆
的一个公共点为
,且直线
与圆
相切于点
.
(1)求的值及椭圆
的标准方程;
(2)设动点满足
,其中M、N是椭圆
上的点,
为原点,直线OM与ON的斜率之积为
,求证:
为定值.
正确答案
见解析。
解析
(1)由题意可知,又
. 又
.
在中,
,
故椭圆的标准方程为:
(2)设,
,
∵M、N在椭圆上, ∴
又直线OM与ON的斜率之积为, ∴
,
于是
. 故
为定值。
知识点
椭圆上存在一点P,使得它对两个焦点
,
的张角
,则该椭圆的离心率的取值范围是 ( )
正确答案
解析
略
知识点
已知椭圆:
的左焦点为
,其左、右顶点为
、
,椭圆与
轴正半轴的交点为
,
的外接圆的圆心
在直线
上。
(1)求椭圆的方程;
(2)已知直线,
是椭圆
上的动点,
,垂足为
,是否存在点
,使得
为等腰三角形?若存在,求出点
的坐标,若不存在,请说明理由。
正确答案
见解析
解析
(1)由题意知,圆心既在
的垂直平分线上,也在
的垂直平分线上,
设的坐标为
,则
的垂直平分线方程为
………①
因为的中点坐标为
,
的斜率为
所以的垂直平分线的方程为
…②
联立①②解得:,
,即
,
,
因为在直线
上。所以
。
即。因为
,所以
,
再由求得
,所以椭圆
的方程为
。
(2)由(1)知:,椭圆上的点横坐标满足
,
设,由题意得
,
则,
,
。
① 若,即
,
与联立,解得
,显然不符合条件。
②,即
,
与联立,解得:
。(显然不符合条件,舍去)
所以满足条件的点的坐标为
。
③若,即
,
解得,
。(显然不符合条件,舍去)
此时所以满足条件的点的坐标为
。
综上,存在点或
,使得
为等腰三角形。
知识点
已知椭圆的长轴在
轴上,焦距为
,则
等于 ( )
正确答案
解析
知识点
已知椭圆的左右顶点分别为
,离心率
。
(1)求椭圆的方程;
(2)若点为曲线
:
上任一点(
点不同于
),直线
与直线
交于点
,
为线段
的中点,试判断直线
与曲线
的位置关系,并证明你的结论。
正确答案
见解析。
解析
(1)由题意可得,
, ∴
∴,
所以椭圆的方程为。
(2)曲线是以
为圆心,半径为2的圆。
设,点
的坐标为
,
∵三点共线, ∴
,
而,
,则
,
∴,
∴点的坐标为
,点
的坐标为
,
∴直线的斜率为
,
而,∴
,
∴,
∴直线的方程为
,化简得
,
∴圆心到直线
的距离
,
所以直线与曲线
相切。
知识点
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