- 椭圆及其性质
- 共629题
已知椭圆的离心率为
,短轴端点分别为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若,
是椭圆
上关于
轴对称的两个不同点,直线
与
轴交于点
,判断以线段
为直径的圆是否过点
,并说明理由。
正确答案
见解析
解析
(1)由已知可设椭圆的方程为:
-------------1分
由,可得
, ------------------3分
解得, -----------------4分
所以椭圆的标准方程为. ------------------5分
(2)法一:
设则
-----------------6分
因为,
所以直线的方程为
, -----------------7分
令,得
,所以
. ---------------8分
所以 ---------------9分
所以, ----------------10分
又因为,代入得
---------------11分
因为,所以
. --------------------12分
所以, ---------------------13分
所以点不在以线段
为直径的圆上. -------------------14分
法二:设直线的方程为
,则
. ------------------6分
由化简得到
,
所以,所以
, -------------------8分
所以,
所以,所以
-------------------9分
所以 ------------------10分
所以, -------------------12分
所以, --------------------13分
所以点不在以线段
为直径的圆上. ----------------14分
知识点
已知直线经过椭圆
的左顶点
和上顶点
,椭圆
的右顶点为
,点
是椭圆上位于
轴上方的动点,直线
,
与直线
分别交于
两点。
(1)求椭圆的方程;
(2)(ⅰ) 设直线,
的斜率分别为
,求证
为定值;
(ⅱ)求线段的长度的最小值。
正确答案
见解析
解析
(1).椭圆 的方程为
. ………3分
(2)(ⅰ)设点的坐标为
,
∴
………5分
∵点在椭圆上,∴
,∴
∴ ………7分
(ⅱ) 设直线的方程为
,
则 且
………9分
∵
∴ 直线的方程为
………10分
∴, ………11分
故, ………12分
∴, …………13分
当且仅当,即
时等号成立,
∴时,线段
的长度取得最小值为
. …………14分
知识点
如图,椭圆的右焦点F2与抛物线的焦点重合,过F2与x轴垂直的直线与椭圆交于S,T,与抛物线交于C,D两点,且|CD|=2
|ST|。
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设P为椭圆上一点,若过点M(2,0)的直线l与椭圆相交于不同两点A和B,且满足 (O为坐标原点),求实数t的取值范围。
正确答案
见解析
解析
(1)设椭圆标准方程,
由题意,抛物线的焦点为
,
.
因为,所以
………………………2分
又,
,
,
又
所以椭圆的标准方程. ………………………5分
(2)由题意,直线的斜率存在,设直线
的方程为
由 消去
,得
,(*)
设,则
是方程(*)的两根,所以
即
① ……7分
且,
由,得
若,则
点与原点重合,与题意不符,故
,
所以, ……9分
因为点在椭圆上,所以
, 即
,
再由①,得又
,
. ………………13分
知识点
在平面直角坐标,直线经过椭圆
的一个焦点,且点(0,b)到直线l的距离为2
(1)求椭圆E的方程;
(2)A、B、C是椭圆上的三个动点A与B关于原点对称,且|AC|=|CB|,问△ABC
的面积是否存在最小值?若存在,求此时点C的坐标;若不存在,说明理由。
正确答案
见解析。
解析
知识点
(1)求该椭圆的标准方程;
正确答案
见解析。
解析
知识点
已知椭圆的一个焦点为
,且离心率为
,
(1)求椭圆方程;
(2)过点且斜率为
的直线与椭圆交于
两点,点
关于
轴的对称点为
,求△
面积的最大值.
正确答案
(1)椭圆方程为
(2)
解析
(1)依题意有,
。
可得,
。
故椭圆方程为, ………………………………………………5分
(2)直线的方程为
。
联立方程组
消去并整理得
, (*)
设,
。
故,
。
不妨设,显然
均小于
。
则,
。
。
等号成立时,可得,此时方程(*)为
,满足
。
所以面积
的最大值为
, ………………………………13分
知识点
在平面直角坐标系中,已知圆心在
轴上,半径为4的圆
位于
轴右侧,且与
轴相切。[:学#科#网Z#X#X#K]
(1)求圆的方程;
(2)若椭圆的离心率为
,且左右焦点为
,试探究在圆
上是否存在点
,使得
为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标)。
正确答案
见解析。
解析
解:(1)依题意,设圆的方程为。
∵圆与轴相切,∴
∴圆的方程为
(2)∵椭圆的离心率为
∴
解得
∴
∴,
∴恰为圆心
(i)过作
轴的垂线,交圆
,则
,符合题意;
(ii)过可作圆的两条切线,分别与圆相切于点
,
连接,则
,符合题意
综上,圆上存在4个点
,使得
为直角三角形。
知识点
已知椭圆的中心在原点
,焦点在
轴上,离心率为
,右焦点到右顶点的距离为
。
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线与椭圆
交于
两点,是否存在实数
,使
成立?若存在,求
的值;若不存在,请说明理由。
正确答案
见解析
解析
(1)设椭圆的方程为
,半焦距为
。
依题意解得
,
,所以
。
所以椭圆的标准方程是
, …………………,4分
(2)不存在实数,使
,证明如下:
把代入椭圆C:
中,整理得
。
由于直线恒过椭圆内定点
,所以判别式
。
设,则
,
。
依题意,若,平方得
。
即,
整理得,
所以,
整理得,矛盾。
所以不存在实数,使
, …………………,14分
知识点
已知椭圆的两个焦点分别为
和
,离心率
。
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线(
)与椭圆
交于不同的两点
、
,且线段
的垂直平分线过定点
,求实数
的取值范围。
正确答案
(1)
(2)
解析
(1)由已知椭圆的焦点在轴上,
,
,
,
,————2分
椭圆
的方程为
————4分
(2),消去
得
————6分
直线
与椭圆有两个交点,
,可得
(*)————8分
设,
,
中点的横坐标
中点的纵坐标
————10分
的中点
设中垂线
的方程为:
在
上,
点坐标代入
的方程可得
(**)————12分
将(*)代入解得
或
,
————14分
知识点
如下图,椭圆的中心为原点O,离心率e=,一条准线的方程是x=2.
(1)求该椭圆的标准方程;
正确答案
见解析。
解析
知识点
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