- 椭圆及其性质
- 共629题
已知椭圆的离心率为,短轴端点分别为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若,是椭圆上关于轴对称的两个不同点,直线与轴交于点,判断以线段为直径的圆是否过点,并说明理由。
正确答案
见解析
解析
(1)由已知可设椭圆的方程为: -------------1分
由,可得, ------------------3分
解得, -----------------4分
所以椭圆的标准方程为. ------------------5分
(2)法一:
设则 -----------------6分
因为,
所以直线的方程为, -----------------7分
令,得,所以. ---------------8分
所以 ---------------9分
所以, ----------------10分
又因为,代入得 ---------------11分
因为,所以. --------------------12分
所以, ---------------------13分
所以点不在以线段为直径的圆上. -------------------14分
法二:设直线的方程为,则. ------------------6分
由化简得到,
所以,所以, -------------------8分
所以,
所以,所以 -------------------9分
所以 ------------------10分
所以, -------------------12分
所以, --------------------13分
所以点不在以线段为直径的圆上. ----------------14分
知识点
已知直线经过椭圆的左顶点和上顶点,椭圆的右顶点为,点是椭圆上位于轴上方的动点,直线,与直线分别交于两点。
(1)求椭圆的方程;
(2)(ⅰ) 设直线,的斜率分别为,求证为定值;
(ⅱ)求线段的长度的最小值。
正确答案
见解析
解析
(1).椭圆 的方程为. ………3分
(2)(ⅰ)设点的坐标为,
∴ ………5分
∵点在椭圆上,∴,∴
∴ ………7分
(ⅱ) 设直线的方程为,
则 且 ………9分
∵
∴ 直线的方程为 ………10分
∴, ………11分
故, ………12分
∴, …………13分
当且仅当,即时等号成立,
∴时,线段的长度取得最小值为. …………14分
知识点
如图,椭圆的右焦点F2与抛物线的焦点重合,过F2与x轴垂直的直线与椭圆交于S,T,与抛物线交于C,D两点,且|CD|=2|ST|。
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设P为椭圆上一点,若过点M(2,0)的直线l与椭圆相交于不同两点A和B,且满足 (O为坐标原点),求实数t的取值范围。
正确答案
见解析
解析
(1)设椭圆标准方程,
由题意,抛物线的焦点为,.
因为,所以 ………………………2分
又,,,
又
所以椭圆的标准方程. ………………………5分
(2)由题意,直线的斜率存在,设直线的方程为
由 消去,得,(*)
设,则是方程(*)的两根,所以
即 ① ……7分
且,
由,得
若,则点与原点重合,与题意不符,故,
所以, ……9分
因为点在椭圆上,所以
, 即,
再由①,得又,. ………………13分
知识点
在平面直角坐标,直线经过椭圆的一个焦点,且点(0,b)到直线l的距离为2
(1)求椭圆E的方程;
(2)A、B、C是椭圆上的三个动点A与B关于原点对称,且|AC|=|CB|,问△ABC
的面积是否存在最小值?若存在,求此时点C的坐标;若不存在,说明理由。
正确答案
见解析。
解析
知识点
(1)求该椭圆的标准方程;
正确答案
见解析。
解析
知识点
已知椭圆的一个焦点为,且离心率为,
(1)求椭圆方程;
(2)过点且斜率为的直线与椭圆交于两点,点关于轴的对称点为,求△面积的最大值.
正确答案
(1)椭圆方程为
(2)
解析
(1)依题意有,。
可得,。
故椭圆方程为, ………………………………………………5分
(2)直线的方程为。
联立方程组
消去并整理得, (*)
设,。
故,。
不妨设,显然均小于。
则,
。
。
等号成立时,可得,此时方程(*)为 ,满足。
所以面积的最大值为, ………………………………13分
知识点
在平面直角坐标系中,已知圆心在轴上,半径为4的圆位于轴右侧,且与轴相切。[:学#科#网Z#X#X#K]
(1)求圆的方程;
(2)若椭圆的离心率为,且左右焦点为,试探究在圆上是否存在点,使得为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标)。
正确答案
见解析。
解析
解:(1)依题意,设圆的方程为。
∵圆与轴相切,∴
∴圆的方程为
(2)∵椭圆的离心率为
∴
解得
∴
∴,
∴恰为圆心
(i)过作轴的垂线,交圆,则,符合题意;
(ii)过可作圆的两条切线,分别与圆相切于点,
连接,则,符合题意
综上,圆上存在4个点,使得为直角三角形。
知识点
已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率为,右焦点到右顶点的距离为。
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线与椭圆交于两点,是否存在实数,使成立?若存在,求的值;若不存在,请说明理由。
正确答案
见解析
解析
(1)设椭圆的方程为,半焦距为。
依题意解得,,所以。
所以椭圆的标准方程是, …………………,4分
(2)不存在实数,使,证明如下:
把代入椭圆C:中,整理得。
由于直线恒过椭圆内定点,所以判别式。
设,则,。
依题意,若,平方得。
即,
整理得,
所以,
整理得,矛盾。
所以不存在实数,使, …………………,14分
知识点
已知椭圆的两个焦点分别为和,离心率。
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线()与椭圆交于不同的两点、,且线段的垂直平分线过定点,求实数的取值范围。
正确答案
(1)
(2)
解析
(1)由已知椭圆的焦点在轴上,,,
,,————2分
椭圆的方程为————4分
(2),消去得————6分
直线与椭圆有两个交点,,可得(*)————8分
设,
,中点的横坐标
中点的纵坐标————10分
的中点
设中垂线的方程为:
在上,点坐标代入的方程可得(**)————12分
将(*)代入解得或,
————14分
知识点
如下图,椭圆的中心为原点O,离心率e=,一条准线的方程是x=2.
(1)求该椭圆的标准方程;
正确答案
见解析。
解析
知识点
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