热门试卷

（1）见解析（2）（3）－

(1)∵平面ABD⊥平面BDC，又∵AB⊥BD，∴AB⊥平面BDC，故AB⊥DC，又∵∠C＝90°，∴DC⊥BC，BCABC平面ABC，DC平面ABC，故DC⊥平面ABC.

(2)如图，以B为坐标原点，BD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如下图示，设CD＝a，则BD＝AB＝2a，BC＝a，AD＝2a，可得B(0，0，0)，D(2a，0，0)，A(0，0，2a)，C，F(a，0，a)，

∴＝，＝(a，0，a)．

设BF与平面ABC所成的角为θ，由(1)知DC⊥平面ABC，

∴cos＝＝＝，∴sinθ＝.

(3)由(2)知FE⊥平面ABC,又∵BE平面ABC，AE平面ABC，∴FE⊥BE，FE⊥AE，

∴∠AEB为二面角B－EF－A的平面角.

在△AEB中，AE＝BE＝AC＝a，

∴cos∠AEB＝＝－，即所求二面角B－EF－A的余弦为－.

（1）（2）

(1)由题意，A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，D(1，2，0)，A1(0，0，3)，B1(2，0，3)，C1(0，4，3).＝(1，2，－3)，＝(0，4，0).

设平面A1C1D的一个法向量为n＝(x，y，z)．

∵n·＝x＋2y－3z＝0，n·＝4y＝0.

∴x＝3z，y＝0.令z＝1，得x＝3.n＝(3，0，1)．

设直线DB1与平面A1C1D所成角为θ，

∵＝(1，－2，3)，

∴sinθ＝|cos〈·n〉|＝＝.

(2)设平面A1B1D的一个法向量为m＝(a，b，c)．

＝(2，0，0)，∵m·＝a＋2b－3c＝0，m·＝2a＝0，

∴a＝0，2b＝3c.令c＝2，得b＝3.m＝(0，3，2)．

设二面角B1A1DC1的大小为α，

∴|cosα|＝cos|〈m，n〉|＝，则sinα＝＝.

∴二面角B1A1DC1的正弦值为.

（1）见解析；（2）.

试题分析：（1）连接交于点，得知为的中点，连接

根据点为中点，利用三角形中位线定理，得出，进一步得到

面.

（2）首先探究几何体中的线面、线线垂直关系，创造建立空间直角坐标系的条件，应用“向量法”，确定二面角的余弦值.

解答本题的关键是确定“垂直关系”，这也是难点所在，平时学习中，应特别注意转化意识的培养，能从“非规范几何体”，探索得到建立空间直角坐标系的条件.

试题解析：（1）连接交于点，则为的中点，连接

因为点为中点，所以为的中位线，

所以                       2分

面，面，

所以面       4分

（2）取中点，的中点，连接，则，

所以共面

作于，于，则且

，

和全等，

和全等，

，为中点，

又，，面

，面                      6分

以为原点，为轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，设，则，

，

设面的法向量

，

由，令

                               8分

设面的法向量

，

由，令

                             10分

设二面角的平面角为，

则              12分

(1)证明见解析；（2）．

试题分析：（1）根据条件，，为坐标轴建立空间直角坐标系，然后得到相关点的坐标，通过计算，从而使问题得证；（2）设为平面的一个法向量，利用与求得法向量，然后通过利用公式可求得点到平面的距离．

试题解析：如图建系，

则，则．

（1），

，．

（2）设为平面的一个法向量，

由，

取，则，，，

，点到平面的距离为．

（1）见解析（2）见解析

(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连结NE.

则N，E(0，0，1)，A(，，0)，M.

∴＝，＝.

∴＝且NE与AM不共线．∴NE∥AM.

∵NE平面BDE，AM平面BDE，∴AM∥平面BDE.

(2)由(1)知＝，

∵D(，0，0)，F(，，1)，∴＝(0，，1)，

∴·＝0，∴AM⊥DF.同理AM⊥BF.又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF.

（1）证明过程详见；（2）

试题分析：本题主要考查线线平行、线线垂直、线面平行、二面角、三棱锥的体积等基础知识，考查学生的空间想象能力和推理论证能力，考查用空间向量法解立体问题，考查学生的计算能力 第一问，取N为ED中点，利用中位线得，而，所以，所以ABMN为平行四边形，所以，所以利用线面平行的判定可得∥平面；第二问，用向量法解题，关键是建立空间直角坐标系，求出平面BDM和平面ABF的法向量，利用夹角公式求出，从而求出的值，即点M为EC中点，所以利用等体积转化法求三棱锥B DEM的体积 

试题解析：（1）证明 取中点，连结 在△中，分别为的中点，

则∥，且 由已知∥，，

因此，∥，且 所以，四边形为平行四边形  

于是，∥ 又因为平面，且平面，

所以∥平面          6分

（2）按如图建立空间直角坐标系，点与坐标原点重合 

设，则，又，设，则，即 

设是平面的法向量，则

, 

取，得，即得平面的一个法向量为   ……  10分

由题可知，是平面的一个法向量 

因此，，

即点为中点 此时，，为三棱锥的高，

所以，                   ………  12分

（1）见解析（2）见解析（3）

(1)证明：∵平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB＝AB，平面DEFG∩平面ADEB＝DE，∴AB∥DE.

又∵AB＝DE，∴四边形ADEB为平行四边形，∴BE∥AD.

∵AD⊥平面DEFG，∴BE⊥平面DEFG.

(2)证明：设DG的中点为M，联结AM，MF，则DM＝DG＝2，

∵EF＝2，EF∥DG，∴四边形DEFM是平行四边形，

∴MF＝DE且MF∥DE，由(1)知，四边形ADEB为平行四边形，∴AB＝DE且AB∥DE，∴AB＝MF且AB∥MF，

∴四边形ABFM是平行四边形，

即BF∥AM，又BF⊄平面ACGD，AM⊂平面ACGD，故BF∥平面ACGD.

(3)由已知，AD，DE，DG两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，4)，B(2，0，4)，C(0，1，4)，F(2，2，0)，

故＝(0，2，－4)，＝(－2，1，0)．

设平面FBC的法向量为n1＝(x，y，z)，则

令z＝1，则n1＝(1，2，1)，

而平面ABC的法向量可为n2＝＝(0，0，4)，

则cos〈n1，n2〉＝，

由图形可知，二面角F－BC－A的余弦值为－

（1）证明过程详见解析；(2).

试题分析：(1)可以遵循思路面面垂直线面垂直线线垂直,即证明面面垂直只需要证明其中一个面里面的一条直线垂直与另外一个面即可,即证明面PDB,线面垂直只需要证明BC与面内相交的两条直线垂直即可,即BD, PD,前者可有三角形的勾股定理证得，后者由线面垂直得到

(2)求线面夹角可以利用三维空间直角坐标系,分别以DA,DB,PD三条两两垂直的直线建立坐标系,求面法向量与直线的夹角的余弦值的绝对值即为线面夹角的余弦值.

试题解析：

(1)∵∴

又∵⊥底面∴

又∵∴平面

而平面 ∴平面平面               5分

(1)由（1）所证，平面 ,所以∠即为二面角P-BC-D的平面角，即∠

而，所以                    7分

分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．则，，， ,所以，，，,设平面的法向量为，则,即可解得∴与平面所成角的正弦值为           12分

（1）详见解析，（2）

试题分析：（1）证明AB=AC，往往转化为证明对应线段垂直，即证边上中线垂直.取BC中点F，连接EF，AF，易得ADEF为平行四边形，从而AF//DE. 又DE⊥平面，可得AF⊥BC.（2）求直线与平面所成角的关键在于找面的垂线.而面的垂线，往往从面面垂直的性质定理中取到.观察图形可知，BC⊥平面DEF，从而平面BCD⊥平面DEF.过作两平面的交线的垂线就是平面BCD的垂线.因为本题三维垂直关系已知，所以也可利用空间向量进行求解.已知条件的二面角与所求线面角有一个相同的平面，这也简化了运算量.

试题解析：

解法一：（1）取BC中点F，连接EF，则EF，从而EFDA。

连接AF，则ADEF为平行四边形，从而AF//DE。又DE⊥平面，故AF⊥平面，从而AF⊥BC，即AF为BC的垂直平分线，所以AB=AC。       5分

（2）作AG⊥BD，垂足为G，连接CG。由三垂线定理知CG⊥BD，故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角。由题设知，∠AGC=600..

设AC=2，则AG=。又AB=2，BC=，故AF=。

由得2AD=，解得AD=。       9分

故AD=AF。又AD⊥AF，所以四边形ADEF为正方形。

因为BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF。

连接AE、DF，设AE∩DF=H，则EH⊥DF，EH⊥平面BCD。

连接CH，则∠ECH为与平面BCD所成的角。.   

因ADEF为正方形，AD=，故EH=1，又EC==2，

所以∠ECH=300，即与平面BCD所成的角为300.        12分

解法二：

（1）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A—xyz。

设B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），则（1，0，2c）,E（，，c）.

于是=（，，0），=（-1，b,0）.由DE⊥平面知DE⊥BC， =0，求得b=1，所以    AB=AC。       5分

（2）设平面BCD的法向量则

又=（-1，1， 0），

=（-1，0，c）,故

令x=1,则y=1,z=,=(1,1,).

又平面的法向量=（0，1，0）

由二面角为60°知，=60°，

故 °，求得           9分

于是  ， 

，

°

所以与平面所成的角为30°       12分

(1) ， (2)详见解析.

试题分析：(1)利用空间向量求线面角，关键求出面的一个法向量. 先由面面垂直得到线面垂直，即由平面面，得平面．建立空间直角坐标系，表示各点坐标，得 ，设平面的法向量为，则有所以  取，得．根据与平面所成的角正弦值等于与平面法向量夹角余弦值的绝对值，得到与平面所成角的正弦值为．(2) 假设线段上存在点，设 ，可求出平面的一个法向量．要使平面平面，只需，即，此方程无解，所以线段上不存在点，使平面平面．

(1)因为，，

在△中，由余弦定理可得，

所以． 又因为

平面面，所以平面．  

所以两两互相垂直，

如图建立空间直角坐标系．

设，所以．

所以，，．

设平面的法向量为，则有

所以  取，得．   

设与平面所成的角为，则，

所以与平面所成角的正弦值为．

(2)线段上不存在点，使平面平面．证明如下：

假设线段上存在点，设 ，所以．

设平面的法向量为，则有 

所以  取，得．

要使平面平面，只需，即，

此方程无解，所以线段上不存在点，使平面平面．

（1）详见解析，（2）详见解析，（3）

试题分析：（1）证明线面平行，往往从线线平行出发. 因为是的中点，所以取PD的中点，则ME为三角形PCD的中位线，根据中位线的性质，有，又，所以四边形为平行四边形，因此∥，（2）存在性问题，往往从假定出发，现设N点位置，这提示要利用空间向量设点的坐标，空间向量解决线面垂直问题的关键在于表示出平面的法向量，也可利用线面垂直的性质，即垂直平面中两条相交直线，由及解得，是的中点（3）求线面角，关键在于作出平面的垂线，此时可利用（2）的结论，即MN为平面的垂线；另外也可继续利用空间向量求线面角，即直线与平面所成角的正弦值为余弦值的绝对值.

试题解析：解（1）是的中点，取PD的中点，则

，又

四边形为平行四边形

∥，平面,平面

∥平面                  ..（4分）

（2）以为原点，以、、 所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，

在平面内设，，， 由       

由       

是的中点，此时平面        （8分）

（3）设直线与平面所成的角为

，，设为

故直线与平面所成角的正弦为        （12分）

略

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.

试题分析：（1）利用已知条件得到，，从而证明平面，得到再结合证明平面，从而得到；（2）连接、证明四边形为平行四边形，连接对角线的交点与点的连线为的中位线，再利用线面平行的判定定理即可证明平面；（3）在（1）的前提条件中平面下，选择以点为坐标原点，、分别为轴、轴的空间直角坐标系，设，利用法向量将条件“平面与平面所成的锐二面角的大小为”进行转化，从而求出的长度.

试题解析：（1）因为底面和侧面是矩形，

所以，，

又因为，

所以平面，

因为平面，

所以；

（2）因为，，

所以四边形是平行四边形.

连接交于点，连接，则为的中点.

在中，因为，，

所以.

又因为平面，平面，

所以平面；

（3）由（1）可知，

又因为，，

所以平面.

设G为AB的中点，以E为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴

如图建立空间直角坐标系，

设，则、、、、、，

设平面法向量为，

因为，，

由，得

令，得.

设平面法向量为，

因为，，

由得

令，得.

由平面与平面所成的锐二面角的大小为，

得，

解得.