热门试卷

在侧棱上不存在点，使得异面直线和所成的角等于

以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．

因为所有棱长都等于2，所以．

假设在侧棱上存在点，使得异面直线与所成的角等于，

可设，

则．

于是，．

因为异面直线和所成的角等于，

所以和的夹角是或．

而，

所以，解得，但由于，

所以点不在侧棱上，

即在侧棱上不存在点，使得异面直线和所成的角等于．

（1）过D在面AC1内作FG∥A1C1分别交AA1、CC1于F、G，则面EFG∥面ABC∥面A1B1C1，

∴△EFG为正三角形，D为FG的中点，ED⊥FG。

连AE， ∵D、E分别为的中点，

∴  。又∵面EFG⊥BB1，

∴ED⊥BB1，故DE为AC1和BB1的公垂线，计算得DE=a。

（2）∵AC=CC1，D为AC1的中点，∴CD⊥AC1，又由（1）可知，ED⊥AC1，∴∠CDE为二面角E—AC1—C的平面角，计算得∠CDE=90°。或由（1）可得DE⊥平面AC1，∴平面AEC1⊥平面AC1，∴二面角E—AC1—C为90°。

（3）用体积法得点C1到平面ACE的距离为a。

略

（1）点坐标为点坐标为．；

（2）．

（1）如图，以为轴，为轴，为轴，为原点建立

空间直角坐标系，则点坐标为点坐标为，

点坐标为．

为的中点，

．

为中点，

；

（2）设为中点，则．

两两互相垂直，平面．

分别为中点，．

面．故为与面所成的角．

．

．

（1）证明见解析（2）平面与平面所成角的大小为

证明：（1）因为平面，

所以，平面，得．

同理可证．

因为，，所以平面．

解：（2）过作的垂线交于，

因为，所以平面．

设与所成角为，则即为平面与平面所成的角．

以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

又，

由，，

可得，．

因为与所成的角为，

所以，．

由定理知，平面与平面所成角的大小为．

解法一：(1)连结，设与交于点，连结.

∵底面ABCD是正方形，∴为的中点，又为的中点，

∴， ∵平面，平面，∴平面.

解法二：(1)以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，则.

∴,设是平面的一个法向量,

则由 

∵，∴, ，∴

(2) 由(1)知是平面BDE的一个法向量，又是平面的一个法向量.设二面角的平面角为，由题意可知.

∴.

本试题考查了同学们空间想象能力，以及对于空间中的线面平行的判定定理和二面角的求解运用。即可运用几何方法，也可以运用空间向量法来解决。

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则，

设.

∵为平行四边形，

（II）设为平面的法向量且

设二面角E-FC1-C为，则

（1）异面直线与所成的角等于．（2）证明见解析

（3）二面角的余弦值为．

（1）以为原点，所在直线分别为轴，

轴，轴，建立空间直角坐标系．

设，则，

．

，，即，

，则．

，，

，

所以异面直线与所成的角等于．

（2）连结交于，连结，

．

又，．

，故平面．

（2）连结交于，连结，

．

又，．

，故平面．

（3）设平面的法向量，

，

由得所以

于是．

又因为平面的法向量，

所以，即二面角的余弦值为．

以D为原点，分别以DA、DC、DD余弦值所在直线为x轴、y轴、z轴，建系如图所示

D（0，0，0）   A1（2，0，4）    B（2，2，0）    E（0，2，1）    C（0，2，0）

（1）        ∴A1C⊥DB    A1C⊥DE

又DBDE="D      " ∴A1C⊥平面BDE

（2）由（1）知是平面BDE的一个法向量

=（-2，2，-4）

设平面A1DE的一个法向量=（x，y，z）

略

点D到平面EFB的距离为

如图，建立空间直角坐标系D－xyz。易得D（0，0，4），B（2，2，4），

E（2，，0），F（，2，0），

故＝（－，，0），＝（0，，4），＝（2，2，0），

设＝（x，y，z）是平面BEF的法向量，，令x＝1，得＝（1，1，－）。则｜·｜＝4，∴d=。

故点D到平面EFB的距离为。

（1）证明见解析（2）与平面所成的角为．（3）当时，三棱锥为正三棱锥．在平面内的射影为的重心．

（1）证明：平面，

．

以为原点，建立如图所示空间直角坐标系．

设，则．

设，则．

为的中点，．

，．

，平面．

（2），即，，

可求得平面的法向量．

．

设与平面所成的角为，

则．

与平面所成的角为．

（3）的重心，，

平面，．

又，．

．

，即．

反之，当时，三棱锥为正三棱锥．

在平面内的射影为的重心．

（1）证明见解析。

（2）

（3）

（1）证明：平面，．

以为原点，建立如图所示空间直角坐标系．

设，则．

设，则．

为的中点，．

，．

，平面．

（2），即，，

可求得平面的法向量．

．

设与平面所成的角为，

则．

与平面所成的角的正弦值为．

（3）的重心，，平面，．又，．．

，即．反之，当时，三棱锥为正三棱锥．

在平面内的射影为的重心．

解：【方法一】（1）证明：由题意知 则

                       （4分）

（2）∵∥，又平面.

∴平面平面.

过作//交于

过点作交于,则

∠为直线与平面所成的角.

在Rt△中，∠，，

∴，∴∠.

即直线与平面所成角为. 　　　　　　　　　　　　　　　（8分）

（3）连结，∵∥，∴∥平面.

又∵∥平面，

∴平面∥平面，∴∥.

又∵

∴∴，即

（12分）

【方法二】如图，在平面ABCD内过D作直线DF//AB，交BC于F，分别以DA、DF、DP所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.

（1）设，则，

∵，∴.　　　　　　　　　　　　　　 　　（4分）

（2）由（1）知.

由条件知A（1，0，0），B（1，，0），

.

设，

则

 即直线为.　　　（8分）

（3）由（2）知C（－3，，0），记P（0，0，a），则

，，，，

而，所以，

=

设为平面PAB的法向量，则，即，即.

 进而得，

由,得∴

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（12分）

略