空间向量与立体几何_章节学习

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题型：单选题

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单选题

已知A、B、C三点不共线，点O为平面ABC外的一点，则下列条件中，能得到M∈平面ABC的充分条件是（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：对于B项，∵，

∴，可得=，

即直线CM与AB互相平行，故点M在平面ABC内

又∵A项，且=≠1

∴A项中的M点不在平面ABC内．同理可得C、D中的M点均不在平面ABC内

故选B

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题型：单选题

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单选题

已知A（1，2，3），B（0，1，2），C（-1，0，λ）若，则λ的值为（　　）

A-1

B1

C2

D-2

正确答案

B

解析

解：∵A（1，2，3），B（0，1，2），C（-1，0，λ），

∴=（-1，-1，-1），=（-2，-2，λ-3）

∵，

∴

解得，λ=1

故选B

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题型：单选题

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单选题

已知向量=（-2，3，-5）与向量=（4，x，y）平行，则x，y的值分别是（　　）

A6和-10

B-6和-10

C-6和10

D6和10

正确答案

C

解析

解：设 =λ则（4，x，y）=λ（-2，3，-5）

∴λ=-2，x=-6，y=10

故选C．

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题型：单选题

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单选题

已知点A，B的坐标分别为（-2，3，5）与（1，-1，-7），则向量的相反向量的坐标是（　　）

A（-3，4，12）

B（3，-4，-12）

C（-1，2，-2）

D（1，-2，2）

正确答案

A

解析

解：∵点A，B的坐标分别为（-2，3，5）与（1，-1，-7），

∴==（1，-1，-7）-（-2，3，5）=（3，-4，-12）．

∴=-（3，-4，-12）=（-3，4，12）．

故选A．

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题型：单选题

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单选题

设平面α的一个法向量为，平面β的一个法向量为，若α∥β，则k=（　　）

A2

B-4

C-2

D4

正确答案

D

解析

解：平面α的一个法向量为，平面β的一个法向量为，

∵α∥β，由题意可得，

∴k=4．

故选：D．

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题型：单选题

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单选题

（2015秋•晋城期末）与向量=（1，3，-2）平行的一个向量的坐标是（　　）

A（，1，1）

B（-，-，1）

C（-，，-1）

D（，-3，-2）

正确答案

B

解析

解：对于B：=-（1，3，-2）=-，

故选：B．

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题型：填空题

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填空题

已知向量=（1，0，m），=（2，1，1），=（0，2，1）为共面向量，则m=______．

正确答案

解析

解：∵向量=（1，0，m），=（2，1，1），=（0，2，1）为共面向量，

设x、y∈R，

则；

解得，

∴m=．

故答案为：．

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题型：单选题

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单选题

已知=（1，2，-1），则向量的模的大小为（　　）

A4

B6

C

D

正确答案

C

解析

解：∵=（1，2，-1），

∴=．

故选：C．

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题型：填空题

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填空题

与向量共线的单位向量=______．

正确答案

解析

解：∵向量的模为：||==3，

故与向量共线的单位向量是±，

即=，或

故答案为：

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题型：单选题

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单选题

已知ABCD为矩形，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，G为△PCD的重心，若=x+y+z，则（　　）

Ax=，y=，z=

Bx=，y=，z=

Cx=-，y=，z=

Dx=，y=，z=

正确答案

B

解析

解：，，，，，，

代入可得=++，

∴，，．

故选：B．

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题型：单选题

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单选题

已知是平面α的法向量，是直线l的方向向量，则正确一个结论是（　　）

A若l⊥α，则

B若l∥α，则

C若，则l⊥α

D若，则l⊥α

正确答案

C

解析

解：设m为平面α内的任一向量，其方向向量为，

由是平面α的法向量知，，即=0，

若，则=0，，所以l⊥m，

由线面垂直的定义知，l⊥α，

故选C．

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题型：单选题

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单选题

（2015秋•陕西校级期末）以下四组向量中，互相平行的有（　　）组．

（1）=（1，2，1），=（1，-2，3）；

（2）=（8，4，-6），=（4，2，-3）；

（3）=（0，1，-1），=（0，-3，3）；

（4）=（-3，2，0），=（4，-3，3）．

A一

B二

C三

D四

正确答案

B

解析

解：若与平行，则存在实数λ使得．

经过验证：只有（2）=2，（3），两组满足条件．

故选：B．

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题型：单选题

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单选题

若=（1，2，λ），=（1，0，0），=（0，1，0），且，，共面，则λ=（　　）

A1

B-1

C0

D±1

正确答案

C

解析

解：由，，共面，根据平面向量基本定理可得：

存在实数m，n，使得=m（1，2，λ）+n（1，0，0）=（0，1，0）．

∴，解得，λ=0，．

故答案为：C．

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题型：简答题

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简答题

证明空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是：对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得=x+y+z．

正确答案

解：（必要性）依题意知，B、C、D三点不共线，

则由共面向量定理的推论知：四点A、B、C、D共面

⇔对空间任一点O，存在实数x1、y1，使得=+x1+y1

=+x1（-）+y1（-）

=（1-x1-y1）+x1+y1，

取x=1-x1-y1、y=x1、z=y1，

则有=x+y+z，且x+y+z=1．

（充分性）对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得=x+y+z．

所以x=1-y-z得=（1-y-z）+y+z．

=+y+z，即：，

所以四点A、B、C、D共面．

所以，空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是：

对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得=x+y+z．

解析

解：（必要性）依题意知，B、C、D三点不共线，

则由共面向量定理的推论知：四点A、B、C、D共面

⇔对空间任一点O，存在实数x1、y1，使得=+x1+y1

=+x1（-）+y1（-）

=（1-x1-y1）+x1+y1，

取x=1-x1-y1、y=x1、z=y1，

则有=x+y+z，且x+y+z=1．

（充分性）对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得=x+y+z．

所以x=1-y-z得=（1-y-z）+y+z．

=+y+z，即：，

所以四点A、B、C、D共面．

所以，空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是：

对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得=x+y+z．

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题型：单选题

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单选题

已知空间三点的坐标为A（1，5，-2），B（2，4，1），C（p，3，q+2），若A、B、C三点共线，则p+q=（　　）

A2

B3

C4

D5

正确答案

D

解析

解：∵A、B、C三点共线，

∴存在实数λ使得，

∴（p-1，-2，q+4）=λ（1，-1，3），

∴，解得λ=2，p=3，q=2，

∴p+q=5．

故选：D．

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正确答案

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