空间向量与立体几何_章节学习

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题型：填空题

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填空题

向量与=（2，-1，2）共线，且•=-18，则的坐标为______．

正确答案

因为向量与=（2，-1，2）共线，所以设=m，

因为且•=-18，所以m

a

2=-18，

因为||==3，

所以m=-2．

所以=m=-2（2，-1，2）=（-4，2，-4）．

故答案为：（-4，2，-4）．

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题型：简答题

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简答题

已知=(2，-1，3)，=(-4，2，x)，=(1，-x，2)，

（1）若∥，求x的值；

（2）若(+)⊥，求x的值．

正确答案

（1）∵∥，∴存在实数λ使=λ即-4=2λ，2=-λ，x=3λ，∴λ=-2，x=-6．

（2）+=(2-4，-1+2，3+x)=(-2，1，3+x)，

又∵(+)⊥，∴（-2）•1+1•（-x）+（3+x）•2=0，∴x=-4．

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题型：简答题

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简答题

已知斜三棱柱ABC-A′B′C′，设=，=，=，在面对角线AC′和棱BC上分别取点M、N，使=k，=k（0≤k≤1），求证：三向量、、共面．

正确答案

如图所示：

∵=+=+k

=+k（-）

=+k(-)

=(1-k)+k．

=k=k（+）=k+k，

∴=-=(1-k)-k．

又∵向量和不共线，∴、、共面．

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题型：简答题

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简答题

证明空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是：对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得=x+y+z．

正确答案

（必要性）依题意知，B、C、D三点不共线，

则由共面向量定理的推论知：四点A、B、C、D共面

⇔对空间任一点O，存在实数x1、y1，使得=+x1+y1

=+x1（-）+y1（-）

=（1-x1-y1）+x1+y1，

取x=1-x1-y1、y=x1、z=y1，

则有=x+y+z，且x+y+z=1．

（充分性）对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得=x+y+z．

所以x=1-y-z得=（1-y-z）+y+z．

=+y+z，即：=y+z，

所以四点A、B、C、D共面．

所以，空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是：

对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得=x+y+z．

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题型：填空题

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填空题

（理）已知向量=（2，-1，3），=（-1，4，-2），=（7，0，λ），若、、三个向量共面，则实数λ=______．

正确答案

∵向量=（2，-1，3），=（-1，4，-2），=（7，0，λ），

三个向量共面，

∴=x+y

∴（2，-1，3）=x（-1，4，-2）+y（7，0，λ），

∴2=-x+7y ①

-1=4x ②

3=-2x+λy ③

由②得x=-，

代入①得y=，

把x，y的值代入③得λ=10

故答案为：10．

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题型：填空题

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填空题

已知A（1，5，-2）、B（2，4，1）、C（p，3，q+2）三点共线，则p+q=______．

正确答案

∵A（1，5，-2），B（2，4，1），C（p，3，q+2），

∴=（1，-1，3），=（p-1，-2，q+4）

∵A，B，C三点共线，

∴=λ

∴（1，-1，3）=λ（p-1，-2，q+4），

∴1=λ（p-1）

-1=-2λ，

3=λ（q+4），

∴λ=，p=3，q=2，则p+q=5

故答案为：5

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题型：简答题

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简答题

已知空间三点A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，4），设=，=．

（Ⅰ）求和的夹角θ的余弦值；

（Ⅱ）若向量k+与k-2互相垂直，求实数k的值；

（Ⅲ）若向量λ-与-λ共线，求实数λ的值．

正确答案

==(1，1，0)，==(-1，0，2)．

（Ⅰ）cosθ===-，

∴和的夹角θ的余弦值为-．

（Ⅱ） k+=(k-1，k，2)，k-2=(k+2，k，-4)

∵向量k+与k-2互相垂直，

∴(k+)•(k-2)=(k-1，k，2)•(k+2，k，-4)=（k-1）（k+2）+k2-8=2k2+k-10=0

∴k=-，或k=2．

（Ⅲ） λ-=(λ+1，λ，-2)，-λ=(1+λ，1，-2λ)

∵向量λ-与-λ共线，∴存在实数μ，使得λ-=μ(-λ)

即（λ+1，λ，-2）=μ（1+λ，1，-2λ）∴

∴λ=1，或λ=-1．

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题型：填空题

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填空题

已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由向量=++λ确定的点P与A，B，C共面，那么λ=______．

正确答案

由题意A，B，C三点不共线，点O是平面ABC外一点，

若由向量=++λ确定的点P与A，B，C共面，

∴++λ=1

解得λ=

故答案为：

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题型：填空题

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填空题

已知空间三点的坐标为A（1，5，-2），B（2，4，1），C（p，3，q+2），若A，B，C三点共线，则p=______，q=______．

正确答案

∵A（1，5，-2），B（2，4，1），C（p，3，q+2），

∴=（1，-1，3），=（p-1，-2，q+4）

∵A，B，C三点共线，

∴=λ

∴（1，-1，3）=λ（p-1，-2，q+4），

∴1=λ（p-1）

-1=-2λ，

3=λ（q+4），

∴λ=，p=3，q=2，

故答案为：3；2

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题型：填空题

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填空题

已知={3λ，6，λ+6}，={λ+1，3，2λ}，若∥，则λ=______．

正确答案

∵已知={3λ，6，λ+6}，={λ+1，3，2λ}，

且向量 ∥，由中间的坐标的关系可知

得到 =2，

∴3λ=2（λ+1），

∴λ=2

故答案为：2．

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题型：填空题

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填空题

已知点M在平面ABC内，对空间任意一点O，有2A=XM-B+4C，则x=______．

正确答案

∵2=x-+4，

∴= -+2

又点M在平面ABC内

∴-+2=1

解得x=-1

故答案为：-1．

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题型：填空题

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填空题

已知=(2，-1，1)，=(-1，4，-2)，=(λ，5，1)，若向量，，共面，则λ=______．

正确答案

∵、、三向量共面，

∴=x+y，x，y∈R，

∴（λ，5，1）=（2x，-x，x）+（-y，4y，-2y）=（2x-y，-x+4y，x-2y），

∴2x-y=λ，-x+4y=5，x-2y=1，

解得x=7，y=3，λ=11；

故答案为； 11．

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题型：填空题

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填空题

若点A（1，1，1），B（2，3，4），O（4，x，y）三点共线，则x+y=______．

正确答案

由A（1，1，1），B（2，3，4），O（4，x，y），

可得=(2，3，4)-(1，1，1)=(1，2，3)

=(4，x，y)-(1，1，1)=(3，x-1，y-1)．

因为A（1，1，1），B（2，3，4），O（4，x，y）三点共线，

所以==2，解得x=5，y=7．

所以x+y=12．

故答案为12．

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题型：填空题

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填空题

已直向量=（2，-3.5）与向量=（3，λ，）平行，则λ=______．

正确答案

∵向量=（2，-3.5）与向量=（3，λ，）平行，

∴存在唯一的实数μ有=μ

∴（2，-3，5）=（3μ，λμ，μ）

∴由向量的相等可得：2=3μ①，-3=λμ②，5=μ③

∴由①②③可得λ=-

故答案为：-．

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题型：填空题

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填空题

已知=（2，-1，2），=（-1，3，-3），=（13，6，λ），若向量，，共面，则λ=______．

正确答案

∵向量，，共面，

∴存在唯一一对实数m，n使得=m+n，

∴，解得．

故答案为：3．

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