- 空间向量与立体几何
- 共9778题
设e1 ，e2 是空间中两个不共线的向量，已知
正确答案
解：∵
∵A，B，D三点共线，
∴
∴2e1+ke2 =λ(e1-4e2)=λe1-4λe2，
∵e1，e2是空间两个不共线的向量，
∴
所以k=-8。
已知A（1，﹣2，11）、B（4，2，3）、C（x，y，15）三点共线，则xy=（ ）
正确答案
2
已知O是空间任意一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面，且
正确答案
﹣1
若a= （1 ，5 ，-1 ），b= （-2 ，3 ，5 ）。
（1）若（ka+b）∥（a-3b），求k；
（2）若（ka+b）⊥（a-3b），求k。
正确答案
解：（1）ka+b=（k-2，5k+3，-k+5），a-3b=（1+3×2，5-3×3，-1-3×5）=（7，-4，-16）
∵（ka+b）∥（a-3b）
∴
解得
（2）∵（ka+b）⊥（a-3b）
∴（k-2）×7+（5k+3）×（-4）+（-k+5）×（-16）=0
解得
如图所示，ABCD 、ABEF 都是平行四边形， 且不共面，M 、N 分别是AC 、BF 的中点，判断
正确答案
解：∵M、N分别是AC、BF的中点，又四边形ABCD、ABEF都是平行四边形，
又∵
∴
∴
即
对于任意空间四边形，试证明它的一组对边中点的连线与另一组对边可平行于同一平面．
正确答案
证明：如图所示，空间四边形ABCD ，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，利用多边形加法法则可得
又E、F分别是AB、CD的中点，
故有
将②代入①后，两式相加得
即
∴EF与AD、BC可平行于同一平面．
已知三个向量a ，b ，c 不共面，并且p=a+b-c ，q=2a-3b-5c ，r=-7a+18b+22c ，向量p ，q ，r 是否共面？
正确答案
解：实数λ，μ，使p= λq+ μr ，
则a+b-c=（2λ-7μ）a+（-3λ+18μ）b+（-5λ+22μ）c
∵a，b，c不共面，
∴
∴
即存在实数
如图所示，已知A、B、C三点不共线，O为平面ABC外的一点，若点M满足
(1)判断
(2)判断点M是否在平面ABC内．
正确答案
解：(1)由已知，得
∴向量
(2)由(1)知向量
∴M、A、B、C共面，即点M在平面ABC内，
如图所示，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，连结PA 、PB 、PC 、PD ，点E 、F 、G 、H 分别为△PAB 、△PBC 、△PCD 、 △PDA 的重心，求证：E 、F 、G 、H 四点共面
正确答案
证明：分别延长P 、PF 、PG 、PH 交对边于M 、N 、Q 、R ．
∵E 、F 、G 、H 分别是所在三角形的重心，
∴M 、N 、Q 、R 为所在边的中点，
顺次连结MNQR 所得四边形为平行四边形，
且有
∵MNQR为平行四边形，
∴由共面向量定理得E、F、G、H四点共面.
已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．
(1) 用向量法证明：E ，F ，G ，H 四点共面．
(2) 用向量法证明：BD ∥平面EFGH ，
(3) 设M 是EG 和FH 的交点，求证：对于空间任意一点O，有
正确答案
证明：(1) 如图所示，连结BG ，则
由共面向量基本定理的推论可知E，F，G，H四点共面．
∴EH∥BD.
∵EH
∴BD∥平面EFGH.
(3)连结OM、OA、OB、OC、OD、OE、OG，
由(2)可知
同理
所以
同理可得
∴EG、FH交于点M且被M平分，
∴
已知A（1，﹣2，11）、B（4，2，3）、C（x，y，15）三点共线，则xy=（ ）
正确答案
2
设
正确答案
因为
所以
故答案为：m=
已知A（1，﹣2，11）、B（4，2，3）、C（x，y，15）三点共线，则xy=（ ）
正确答案
2
已知
正确答案
4
如图，长方体ABCD-A1B1C1D1 中，M 为DD1 的中点，N 在AC 上，且AN:NC=2:1 ．求证：
正确答案
证明：
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