空间向量与立体几何_章节学习

1

题型：填空题

|

填空题

正方体中不在同一表面上两顶点坐标为M（-1，2，-1），N（3，-2，3），则此正方体的内切球的表面积为______．

正确答案

16π

解析

解：∵正方体中不在同一表面上两顶点坐标为M（-1，2，-1），N（3，-2，3），

∴MN是正方体的题对角线，MN==

∴正方体的棱长为4，正方体的内切球的半径为2

∴正方体的内切球的表面积为16π

故答案为：16π

1

题型：填空题

|

填空题

在空间直角坐标系中，点A（-3，2，-4）关于平面xOz对称点的坐标为 ______．

正确答案

（-3，-2，-4）

解析

解：过点A（-3，2，-4）作平面xOz的垂线，垂足为H，并延长到A′，使AH′=AH，则A′的横坐标与竖坐标不变，

纵坐标变为原来纵坐标的相反数，即得：A′（-3，-2-4）．

故答案为：（-3，-2-4）

1

题型：单选题

|

单选题

已知点A在基底{，，}下的坐标为（8，6，4），其中=+，=+，=+，则点A在基底{，，}下的坐标为（　　）

A（12，14，10）

B（10，12，14）

C（14，10，12）

D（4，2，3）

正确答案

A

解析

解：∵8+6+4=8（+）+6（+）+4（+）

=12+14+10，

∴点A在{，，}下的坐标为（12，14，10）．

故选A．

1

题型：填空题

|

填空题

已知点，则点关于轴对称的点的坐标为。

正确答案

(-3,-1,4)

略

1

题型：简答题

|

简答题

（1）求与向量a=(2,-1,2)共线且满足方程a·x=-18的向量x的坐标；

（2）已知A、B、C三点坐标分别为（2，-1，2），（4，5，-1），（-2，2，3），求点P的坐标使得=（-）；

（3）已知a=（3，5，-4），b=（2，1，8），求：①a·b；②a与b夹角的余弦值；

③确定，的值使得a+b与z轴垂直，且（a+b）·（a+b）=53.

正确答案

（1）（-4，2，-4）（2）P点坐标为(5，，0)（3）

（1）∵x与a共线，故可设x=ka，

由a·x=-18得a·ka=k|a|2=k（）2=9k，

∴9k=-18，故k=-2.

∴x=-2a=（-4，2，-4）.

（2）设P（x，y，z），则=（x-2，y+1，z-2），

=（2，6，-3），=（-4，3，1），

∵=（-）.

∴（x-2，y+1，z-2）=［（2，6，-3）-（-4，3，1）］

=（6，3，-4）=(3，，-2)

∴，解得

∴P点坐标为(5，，0).

（3）①a·b=（3，5，-4）·（2，1，8）

=3×2+5×1-4×8=-21.

②∵|a|==5,

|b|==,

∴cos〈a,b〉= ==-.

∴a与b夹角的余弦值为-.

③取z轴上的单位向量n=（0，0，1），a+b=（5，6，4）.

依题意

即

故解得.

1

题型：简答题

|

简答题

正方体中不在同一表面上两顶点坐标为M（-1，2，-1），N（3，-2，3），则此正方体的内切球的表面积为______．

正确答案

∵正方体中不在同一表面上两顶点坐标为M（-1，2，-1），N（3，-2，3），

∴MN是正方体的题对角线，MN==4

∴正方体的棱长为4，正方体的内切球的半径为2

∴正方体的内切球的表面积为16π

故答案为：16π

1

题型：简答题

|

简答题

如图，四棱锥中， ∥,，侧面为等边三角形..

（1）证明：

（2）求AB与平面SBC所成角的大小。

正确答案

（1）见解析（2）

(1)取中点，连结，则四边形为矩形，，连结，则，.

又,故,

所以为直角. 3分

由,,,得平面,所以.

与两条相交直线、都垂直.

所以平面. 6分

另解:由已知易求得,于是.可知,同理可得,又.所以平面. 6分

(2)由平面知，平面平面.

作,垂足为,则平面ABCD,.

作,垂足为,则.

连结.则.

又,故平面,平面平面. 9分

作,为垂足,则平面.

,即到平面的距离为.

由于,所以平面,到平面的距离也为.

设与平面所成的角为,则,. 12分

1

题型：填空题

|

填空题

有以下命题：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；②为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点一定共面；③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底。其中正确的命题是。

正确答案

②③

对于①“如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系一定共线”；所以①错误。②③正确。

1

题型：填空题

|

填空题

在空间直角坐标系中，已知M（2，0，0），N（0，2，10），若在z轴上有一点D，满足，则点D的坐标为．

正确答案

（0，0，5 ）

试题分析：由D在z轴上可设,再由两点间距离公式,

,因为所以,故

1

题型：填空题

|

填空题

已知为单位正交基，且，则向量的坐标是______________________．

正确答案

略

1

题型：填空题

|

填空题

[2014·泉州模拟]如图，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈，〉＝，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为________．

正确答案

(1,1,1)

设PD＝a，

则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，

P(0,0，a)，E(1,1，)，

∴＝(0,0，a)，＝(－1,1，)．

由cos〈，〉＝，∴＝a·，

∴a＝2.∴E的坐标为(1,1,1)．

1

题型：填空题

|

填空题

已知向量a=(1,－2)，b=(4,2)，c=(x,y).若|c|的取值范围是[0，5]，则实数=(c-a)∙(c-b)的最大值为 .

正确答案

0

∵=(c-a)∙(c-b)=(1-x,-2-y)∙(4-x,2-y)=x2-5x+y2=(x-)2+y2-()2

∴(x-)2+y2=()2+

又|c|=∈[0， 5]

∴向量c在以原点为圆心,5为半径的圆面上

即以(,0)为圆心的圆,其半径最大值为

∴的最大值为0

1

题型：简答题

|

简答题

空间四边形中，分别是，的重心，设，，，试用向量表示向量和．

正确答案

，

如图，，

而，，且为中点，

．

而，且．

．

故，．

1

题型：简答题

|

简答题

在四棱锥中，//，，，平面，.

（1）求证：平面；

（2）求异面直线与所成角的余弦值；

（3）设点为线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值．

正确答案

（1）见解析（2），（3）

试题分析：（1）建立如图所示坐标系，

写出坐标，可得坐标，由＝，＝知，.所以平面；（2）由向量的夹角可知异成直线与所成角；（3）为线段上一点，设其中可得，由直线与平面所成角的正弦值为，利用与平面的法向量夹角,可得.其中为直线与平面所成角.．即 .

试题解析：（1）证明：因为，，所以以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，１分

则，，，.

所以，，

，２分

所以，

.

所以，.

因为，平面，

平面，

所以平面. ４分

（2），５分

异成直线与所成角的余弦值 8分

（3）解：设（其中），，直线与平面所成角为.

所以 .所以 .

所以即. ９分

所以 .

平面的一个法向量为. １０分

因为，

所以 . １１分

解得 .所以 . 12分

1

题型：简答题

|

简答题

已知正三棱柱ABC—A1B1C1，底面边长AB=2，AB1⊥BC1，点O、O1分别是边AC，A1C1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.

(Ⅰ)求正三棱柱的侧棱长.

（Ⅱ)若M为BC1的中点，试用基底向量、、表示向量；

(Ⅲ)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值．

正确答案

(Ⅰ)

（Ⅱ)

(Ⅲ)

解：(Ⅰ)设正三棱柱的侧棱长为，

由题意得 ,

所以 4分

（Ⅱ) 7分

(Ⅲ),

所以异面直线AB1与BC所成角的余弦值为 12分

热门试卷

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案