热门试卷

证明见解析

证明：必要性：连AG交BC于D，则D平分BC，且G分所成的比为2∶1，从而

，

，

故．

充分性：设D分所成的比为p，G分所成的比为q．

则，

，

于是，

=

因(a+b+c)，故，

解得q =2，p = 1，于是G为△ABC的重心．

E（0，0，），F（，，0），G（1，1，）

如右图，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），

B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，0），A1（1，0，1），

B1（1，1，1），C1（0，1，1），D1（0，0，1），E（0，0，），

F（，，0），G（1，1，）

（1）证明：圆O的直径AB=5且BC=3

BCAC且AC=4

又PA面ABC BCPA BC面PAC

AEBC, 又 AEPC

AE面PBC

（2）解：由（1）知，AE为所求距离

在RtPAC中，AC=4，PA=2，PC=2

由等面积得 PAAC=PCAE   AE= 

略

由已知，可设，

则．

．

（1）2 /3   （2）略（3）120°

本试题主要考查了立体几何中的线面的垂直，以及二面角的求解的综合运用。

解：（I）由三视图知PC⊥面ABCD，ABCD为正方形，且PC=2，AB=BC=1（2分）

∴VP-ABCD="1" /3 •SABCD×PC="1" /3 •12•2="2" /3  （1分）

（II）∵PC⊥面ABCD，BD⊂面ABCD∴PC⊥BD …（1分）而BD⊥AC，AC∩AE=A，

∴BD⊥面ACE，…（1分）而AE⊂面ACE∴BD⊥AE （1分）

（III）法一：连接AC，交BD于O．由对称性，二面角D-AE-B是二面角O-AE-B的2倍，设θ为二面角O-AE-B的平面角．注意到B在面ACE上的射影为O

S△AOE="1/" 2  S△ACE="1" /2 ×1/ 2 × = / 4 ．

S△ABE="1" /2 AB•BE=  =  / 2 ，（2分）∴cosθ=S△AOE /S△ABE ="1" /2

∴θ=60°∴二面角D-AE-B是120°（2分）

法二：以C为坐标原点，CD所在直线为x轴建立空间直角坐标系

则D（1，0，0），A（1，1，0），B（0，1，0），E（0，0，1），

从而 DE =（-1，0，1）， DA =（0，1，0），

BA =（1，0，0）， BE =（0，-1，1）（2分）

设平面ADE和平面ABE的法向量分别为

n1 =（x1，y1，z1）， n2 =（x2，y2，z2）则-x1+z1=0，y1=0

x2=0，-y2+z2=0令z1=1，z2=-1，则 n1 =（ （1，0，1）， n2 =（0，-1，-1）（2分）

设二面角D-AE-B的平面角为θ，则|cosθ|="|" n1 •  n2  | /| n1 | ×| n2|  =  1 /2 ．

二面角D-AE-B为钝二面角．∴二面角D-AE-B的大小为2π/ 3 ．

解：

（Ⅰ）

。

（Ⅱ）

，

，

本试题主要考查运用向量的基本定理表示向量，并且运用向量能求解长度问题。

（1）（2）=,=, =.

 （1）如图所示，取AA′的中点E，则=.

在D′C′上取点F，

使=，

因为=，所以==.

又=,

从而++=++=.

(2)= +=+

=(+)+ (+)

=(-+)+(+)

=++,

可见,=,=, =.