热门试卷

（1）见解析（2）

(1)G，H分别为CE，CF的中点，

所以EF∥GH，

连接AC与BD交于O，因为四边形ABCD是菱形，所以O是AC的中点，

连接OG，OG是三角形ACE的中位线，OG∥AE，

又EF∩AE＝E，GH∩OG＝G，则平面AEF∥平面BDGH，

(2)因为BF⊥BD，平面BDEF⊥平面ABCD，

所以BF⊥平面ABCD，

取EF的中点N，连接ON，则ON∥BF，∴ON⊥平面ABCD，

建立空间直角坐标系如图所示，设AB＝2，BF＝t，

则B(1,0,0)，C(0，，0)，F(1,0，t)，

H，＝(1,0,0)，＝，

设平面BDGH的法向量为n1＝(x，y，z)，

取n1＝(0，－t，)，

平面ABCD的法向量n2＝(0,0,1)，

|cos〈n1，n2〉|＝＝，所以t2＝9，t＝3.

所以＝(1，－，3)，设直线CF与平面BDGH所成的角为θ，

sin θ＝|cos〈，n1〉|＝＝.

（1）见解析；（2）见解析；（3）

试题分析：（1）利用已有平行关系，可得到

 得到而得证.

(2)通过证明 以点为坐标原点，，建立空间直角坐标系，根据计算它们的数量积为零，得证.

(3)由已知可得是平面的一个法向量.

确定平面的一个法向量为

利用得解.

（1）证明：，

.

             2分

    4分

(2)证明：,

  6分

以点为坐标原点，，建立空间直角坐标系如图所示，由已知得

                                 8分

(3)由已知可得是平面的一个法向量.

设平面的一个法向量为，

，

     10分

设二面角的大小为，

则    11分

         12分

（1）证明见解析；（2）．

试题分析：

解题思路：（1）利用线面垂直的性质推得线线垂直：（2）建立空间坐标系，利用二面角A­PB­D的余弦值为，求出PD;进而利用空间向量求线面角的正弦值.

规律总结：对于空间几何体中的垂直、平行关系的判定，要牢牢记住并灵活进行转化，线线关系是关键；涉及夹角、距离问题以及开放性问题，要注意利用空间直角坐标系进行求解.

试题解析：(1)证明：∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

∴PD⊥AC，

∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，

又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PBD，

∵DE⊂平面PBD，∴AC⊥DE.

(2)在△PDB中，EO∥PD，∴EO⊥平面ABCD，分别以OA，OB，OE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设PD＝t，则A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1,0,0)，，P(0，－，t)，＝(－1，，0)，＝(－1，－，t)．

由(1)知，平面PBD的一个法向量为n1＝(1,0,0)，设平面PAB的法向量为n2＝(x，y，z)，则根据,

得，令y＝1，得平面PAB的一个法向量为

∵二面角A­PB­D的余弦值为，

则|cos〈n1，n2〉|＝，即

＝，解得t＝2或t＝－2 (舍去)，

∴P(0，－，2)．

设EC与平面PAB所成的角为θ，

∵＝(－1,0，－)，n2＝(，1,1)，

则sin θ＝|cos〈，n2〉|＝，

∴EC与平面PAB所成角的正弦值为.

(1) 详见解析 (2)

试题分析:(1)要证明线面垂直,只需要在面内找到两条相交的线段与之垂直即可,即证明与垂直,首先利用四棱柱所有棱相等,得到上下底面为菱形,进而得到均为中点,得到三者相互平行,四边形均为矩形与平行相结合即可得到与垂直,进而证明线面垂直.

(2)要求二面角,此问可以以以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立三维直角坐标系,利用空间向量的方法得到二面角的余弦值,在此说明第一种方法,做出二面角的平面角, 过作的垂线交于点,连接.利用(1)得到,在利用四边形为菱形,对角线相互垂直,两个垂直关系即可得到垂直于平面,进而得到,结合得到线面垂直,说明角即为哦所求二面角的平面角,设四棱柱各边长为,利用勾股定理求出相应边长即可得到角的余弦值,进而得到二面角的余弦值.

(1)证明:四棱柱的所有棱长都相等

四边形和四边形均为菱形

分别为中点

四边形和四边形为矩形

且

又且底面

底面.

(2)法1::过作的垂线交于点,连接.不妨设四棱柱的边长为.

底面且底面面

面

又面

四边形为菱形

又且,面

面

又面

又且,面

面

为二面角的平面角,则

且四边形为菱形

,,

则

再由的勾股定理可得,

则,所以二面角的余弦值为.

法2:因为四棱柱的所有棱长都相等,所以四边形是菱形,因此,又面,从而两两垂直,如图以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立三维直角坐标系,不妨设,因为,所以,,于是各点的坐标为:,已知是平面的一个法向量,设是平面的一个法向量,则,,取,则,

所以,,故二面角的余弦值为.

：解法一：(Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面．因为，所以，

又，故为等腰直角三角形，，由三垂线定理，得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，依题设，

故，由，，，得

，．

的面积．

连结，得的面积

设到平面的距离为，由于，得，解得．

设与平面所成角为，则．

所以，直线与平面所成的我为．

解法二：

（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面．因为，所以．又，为等腰直角三角形，．如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系，

，，，，，

，，所以．

（Ⅱ）取中点，，连结，取中点，连结，．，，．

，，与平面内两条相交直线，垂直．

所以平面，与的夹角记为，与平面所成的角记为，则与互余．

，．，，

所以，直线与平面所成的角为

略

（1）证明详见解析；（2）直线与平面所成角的正弦值为.

试题分析：（1）要证⊥平面，只须证明与平面内的两条相交直线垂直即可，对于的证明，只需要根据题中面面垂直的性质及线面垂直的性质即可得出，对于的证明，这需要在平面的直角梯形中根据及得出，进而可得出，问题得以证明；（2）分别以、、所在的直线为、、轴建立空间直角坐标系，进而写出有效点的坐标，设平面的法向量，由确定该法向量的一个坐标，进而根据线面角的向量计算公式即可得出直线与平面所成角的正弦值.

（1）证明：由已知条件可知：在中，，所以

在中，，所以

所以……①

又因平面⊥平面，面……②

由①②及可得⊥平面

（2）如图分别以、、所在的直线为、、轴建立空间直角坐标系

则，,,

所以，

设平面的法向量，则有：

即，取，则

设直线直线与平面所成角为，有

所以直线与平面所成角的正弦值为.

（1）证明见解析；（2）λ的值等于1或4．

试题分析：（1）取AD的中点M，连接MH，MG,由G、H、F分别是AE、BC、BE的中点，得MH∥GF，G、F、H、M四点共面，又MG∥DE，所以DE∥平面MGFH；（2）在平面ABE内过A作AB的垂线，记为AP，则AP⊥平面ABCD．以A为原点，AP、AB、AD所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立建立空间直角坐标系A﹣xyz，如图所示．可得坐标，利用空间向量的坐标运算求出平面PBD的一个法向量=（5﹣2λ，，2），再由图可知平面ABP的一个法向量为，由cos＜＞==得λ=1或4．

解：（1）证明：取AD的中点M，连接MH，MG．

∵G、H、F分别是AE、BC、BE的中点，

∴MH∥AB，GF∥AB，

∴MH∥GF，即G、F、H、M四点共面，平面FGH即平面MGFH，

又∵△ADE中，MG是中位线，∴MG∥DE

∵DE⊄平面MGFH，MG⊂平面MGFH，

∴DE∥平面MGFH，即直线DE与平面FGH平行．

（2）在平面ABE内，过A作AB的垂线，记为AP，则AP⊥平面ABCD．

以A为原点，AP、AB、AD所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，

建立建立空间直角坐标系A﹣xyz，如图所示．

可得A（0，0，0），B（0，4，0），D（0，0，2），E（2，﹣2，0），G（，﹣1，0），F（，1，0）

∴=（0，2，0），=（0，﹣4，2），=（，﹣5，0）．

由=λ=（0，2λ，0），可得=+=（，2λ﹣5，0）．

设平面PBD的法向量为=（x，y，z），

则，取y=，得z=2，x=5﹣2λ，

∴=（5﹣2λ，，2），

又∵平面ABP的一个法向量为=（0，0，1），

∴cos＜＞===cos=，解之得λ=1或4

即λ的值等于1或4．

(1)解：V=

==48米3

答：正四棱锥的体积

为48米3

(2)过点S做SEBC于点E，连结OE，则SE是斜高

在直角三角形SOE中，SE=

=米2

=+=60+=96米2

答：正四棱锥的表面积为96米2

略

（1）；（2）详见解析；（3）二面角的余弦值为.

试题分析：（1）求的值，关键是找在的位置，注意到平面，有线面平行的性质，可得，由已知为中点，由平面几何知识可得为中点，从而可得的值；（2）求证：，有图观察，用传统方法比较麻烦，而本题由于底面，所以，，又，这样建立空间坐标比较简单，故以为原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，取，可写出个点坐标，从而得向量的坐标，证即可；（3）求二面角的余弦值，由题意可得向量是平面的一个法向量，只需求出平面的一个法向量，可设平面的法向量，利用，即可求出平面的一个法向量，利用向量的夹角公式即可求出二面角的余弦值．

（1）因为平面

又平面，平面平面，

所以.                          3分

因为为中点，且侧面为平行四边形

所以为中点，所以.                4分

（2）因为底面，

所以，，                                      5分

又，

如图，以为原点建立空间直角坐标系，设，则由可得                  6分

因为分别是的中点，

所以.                                      7分

.                    8分

所以，

所以.                                         9分

（3）设平面的法向量，则

即                10分

令，则，所以.                11分

由已知可得平面的法向量                    11分

所以                    13分

由题意知二面角为钝角，

所以二面角的余弦值为.                    14分

（1）；（2）详见解析

试题分析：（1）有两种思路，其一是利用几何体中的垂直关系，以B为坐标原点，所在的直线分别为，轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用平面与平面的法向量的夹角求二面角的大小.其二是按照作出二面角的平面角，并在三角形中求出该角的方法，利用平面平面，在平面内过点作，垂足是,过作，垂足为，连结,得二面角的平面角，最后在直角三角形中求；

（2）在空间直角坐标系中，设，求出平面的法向量，和平面的法向量

再由确定点的坐标，进而求线段的长度.

方法一（向量法）：如图建立空间直角坐标系                    1分

（1）

设平面的法向量为，平面的法向量为

则有    3分

    5分

设二面角为，则 

∴二面角的大小为60°。    6分

（2）设,   ∵

∴，设平面的法向量为

则有              10分

由（1）可知平面的法向量为，

平面平面

即此时,                  12分

方法二：（1）取中点，连接

又平面,

平面 ，过作于，连接

平面 为二面角的平面角      3分

又

∴,  ∴

（2）同解法一.

(1)详见解析， (2) 到,的距离为.

试题分析：(1) 证明线面平行，关键在于找出线线线平行.本题中点较多，易从中位线上找平行.取线段

中点，连接则所以为平行四边形，因此运用线面平行判定定理时，需写

全定理所需所有条件.(2) 在内找一点，利用空间向量解决较易. 利用平面平面,建立空间直角坐标系O,点M的坐标可设为.利用平面，可解出，但需验证点M满足的内部区域，再由点M的坐标得点到,的距离为.

试题解析：证明:(1)如图,连结OP,以O为坐标原点,分别以OB、OC、OP所在直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系O, 则,由题意得,因,因此平面BOE的法向量,得,又直线不在平面内,因此有平面       6分

(2)设点M的坐标为,则,因为平面BOE,所以有,因此有,即点M的坐标为,在平面直角坐标系中,的内部区域满足不等式组,经检验,点M的坐标满足上述不等式组,所以在内存在一点,使平面,由点M的坐标得点到,的距离为.       12分