空间向量与立体几何_章节学习

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题型：填空题

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填空题

在空间直角坐标系O-xyz中，点M（1，-1，2）关于平面xoy对称的点的坐标为______．

正确答案

（1，-1，-2）

解析

解：由题意，关于平面xoy对称的点横坐标、纵坐标保持不变，第三坐标变为它的相反数，从而有点M（1，-1，2）关于平面xoy对称的点的坐标为（1，-1，-2）

故答案为：（1，-1，-2）

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题型：简答题

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简答题

如图，四棱锥P-ABCD中，底面积ABCD为矩形，PA⊥平向ABCD，E为PD的中点，AB=AP=1，AD=，试建立恰当的空间直角坐标系，试求直线PC的一个法向量和平面PCD的一个法向量．

正确答案

解：如图所示，建立空间直角坐标系A-BDP．

A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，，0），D（0，，0），P（0，0，1）．

=（1，，-1），

设直线PC的一个法向量为=（x，y，z），

则=x+y-z=0，

取=（，-1，0）．

=（0，，-1），

设平面PCD的一个法向量=（x1，y1，z1），

则，，

令z1=，y1=1，x1=0，

∴=（0，1，）．

解析

解：如图所示，建立空间直角坐标系A-BDP．

A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，，0），D（0，，0），P（0，0，1）．

=（1，，-1），

设直线PC的一个法向量为=（x，y，z），

则=x+y-z=0，

取=（，-1，0）．

=（0，，-1），

设平面PCD的一个法向量=（x1，y1，z1），

则，，

令z1=，y1=1，x1=0，

∴=（0，1，）．

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题型：单选题

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单选题

设P是△ABC内任意一点，S△ABC表示△ABC的面积，λ1=，λ2=，λ3=，定义f（P）=（λ1，λ2，λ3），若G是△ABC的重心，f（Q）=（，，），则（　　）

A点Q在△GAB内

B点Q在△GBC内

C点Q在△GCA内

D点Q与点G重合

正确答案

A

解析

解：由已知得，f（P）=（λ1，λ2，λ3）中的三个坐标分别为P分△ABC所得三个三角形的高与△ABC的高的比值，

∵f（Q）=（，，）

∴P离线段AB的距离最近，故点Q在△GAB内

由分析知，

应选A．

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题型：填空题

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填空题

已知O是空间任意一点，P∈平面ABC，且，则x=______．

正确答案

解析

解：∵

又P∈平面ABC

∴

解得x=

故答案为：

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题型：单选题

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单选题

（2015秋•滨州期末）设直线l的方向向量是=（-2，2，t），平面α的法向量=（6，-6，12），若直线l⊥平面α，则实数t等于（　　）

A4

B-4

C2

D-2

正确答案

B

解析

解：∵直线l⊥平面α，且

直线l的方向向量是=（-2，2，t），平面α的法向量=（6，-6，12），

∴∥，

∴==，

解得t=-4．

故选：B．

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题型：单选题

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单选题

已知空间直角坐标系中点A（1，0，0），B（2，0，1），C（0，1，2），则平面ABC的一个法向量为（　　）

A（-1，-3，2）

B（1，3，-1）

C（1，3，1）

D（-1，3，1）

正确答案

B

解析

解：=（1，0，1），=（-1，1，2），

设平面ABC的法向量为=（x，y，z），

则，取x=1，则z=-1，y=3．

∴=（1，3，-1）．

故选：B．

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题型：单选题

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单选题

已知直线l的一个方向向量为=（1，-1，-2），平面α的一个法向量为=（2，-2，-4），则（　　）

Al∥α

Bl⊂α

Cl⊥α

D直线l与平面α相交但不垂直

正确答案

C

解析

解：∵直线l的一个方向向量为=（1，-1，-2），

平面α的一个法向量为=（2，-2，-4），

又∵=2，∴，

∴l⊥α

故选：C

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题型：简答题

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简答题

如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为1的菱形，侧棱长为2．

（1）B1D1与A1D能否垂直？请证明你的判断；

（2）当∠A1B1C1在上变化时，求异面直线AC1与A1B1所成角的取值范围．

正确答案

解：∵菱形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1于O1，

设AC∩BD=O，分别以O1B1，O1C1，O1O所在直线为x，y，z轴，

建立空间直角坐标系，设B1（a，0，0），C1（0，b，0）（a2+b2=1），

则D1（-a，0，0），A1（0，-b，0），D（-a，0，2）

（1）∵，

∴

∴B1D1与A1D不能垂直．

（2）∵∠A1B1C1∈，∴，

∵A（0，-b，2）∴，

，

∴

∵a2+b2=1，∴设a=cosα，b=sinα，又，

∴

=

∵2≤csc2α≤4，∴

∴直线AC1与A1B1所成角的取值范围是．

解析

解：∵菱形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1于O1，

设AC∩BD=O，分别以O1B1，O1C1，O1O所在直线为x，y，z轴，

建立空间直角坐标系，设B1（a，0，0），C1（0，b，0）（a2+b2=1），

则D1（-a，0，0），A1（0，-b，0），D（-a，0，2）

（1）∵，

∴

∴B1D1与A1D不能垂直．

（2）∵∠A1B1C1∈，∴，

∵A（0，-b，2）∴，

，

∴

∵a2+b2=1，∴设a=cosα，b=sinα，又，

∴

=

∵2≤csc2α≤4，∴

∴直线AC1与A1B1所成角的取值范围是．

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题型：填空题

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填空题

（2015春•宿迁期末）已知直线l∥平面α，l的一个方向向量为（t，2，4），α的法向量为（，1，2），则实数t的值为______．

正确答案

-20

解析

解：∵直线l∥平面α，l的一个方向向量为=（t，2，4），α的法向量为=（，1，2），

∴==0，

解得t=-20．

故答案为：-20．

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题型：简答题

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简答题

多面体ABCDE中，AB=BC=AC=AE=1，CD=2，AE⊥面ABC，AE∥CD．

（1）求证：AE∥面BCD；

（2）求证：面BED⊥面BCD．

正确答案

（1）∵AE∥CD，AE⊄面BCD，

∴AE∥面BCD（5分）

（2）取BC中点为N，BD中点为M，连接MN、EN

∵MN是△BCD的中位线，∴MN∥CD（7分）

又∵AE∥CD，∴AE∥MN，∴MN⊥面ABC，

∴MN⊥AN（8分）

∵△ABC为正△，∴AN⊥BC，

∴AN⊥面BCD（10分）

又∵AE=MN=1，AE∥MN，∴四边形ANME为平行四边形（12分）

∴EM⊥面BCD，

∴面BED⊥面BCD（14分）

解析

（1）∵AE∥CD，AE⊄面BCD，

∴AE∥面BCD（5分）

（2）取BC中点为N，BD中点为M，连接MN、EN

∵MN是△BCD的中位线，∴MN∥CD（7分）

又∵AE∥CD，∴AE∥MN，∴MN⊥面ABC，

∴MN⊥AN（8分）

∵△ABC为正△，∴AN⊥BC，

∴AN⊥面BCD（10分）

又∵AE=MN=1，AE∥MN，∴四边形ANME为平行四边形（12分）

∴EM⊥面BCD，

∴面BED⊥面BCD（14分）

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题型：填空题

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填空题

正方体AC1中，E、F分别是线段C1D、BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是______．

正确答案

相交

解析

解：直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．

故答案为相交．

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题型：简答题

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简答题

P是平面ABCD外的点，四边形ABCD是平行四边形，=（2，-1，-4），=（4，2，0），=（-1，2，-1）．

（1）求证：PA⊥平面ABCD；

（2）对于向量=（x1，y1z1），，定义一种运算：，试计算（×）•的绝对值；说明其与几何体P-ABCD的体积关系，并由此猜想向量这种运算（×）•的绝对值的几何意义．

正确答案

解：（1），∴，即AP⊥AB．，即PA⊥AD．

∴PA⊥面ABCD．

（2），又，

V=

猜测：在几何上可表示以AB，AD，AP为棱的平行六面体的体积（或以AB，AD，AP为棱的四棱柱的体积）．

解析

解：（1），∴，即AP⊥AB．，即PA⊥AD．

∴PA⊥面ABCD．

（2），又，

V=

猜测：在几何上可表示以AB，AD，AP为棱的平行六面体的体积（或以AB，AD，AP为棱的四棱柱的体积）．

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题型：填空题

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填空题

（2015春•淮安校级期末）已知向量=（-1，3，1）为平面α的法向量，点M（0，1，1）为平面内一定点，P（x，y，z）为平面内任一点，则x，y，z满足的关系是______．

正确答案

x-3y-z+4=0

解析

解：=（x，y-1，z-1），

∵向量=（-1，3，1）为平面α的法向量，

∴=-x+3（y-1）+（z-1）=0，

化为x-3y-z+4=0．

故答案为：x-3y-z+4=0．

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题型：单选题

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单选题

直线l的方向向量=（1，-3，5），平面α的法向量=（-1，3，-5），则有（　　）

Al∥α

Bl⊥α

Cl与α斜交

Dl⊂α或l∥α

正确答案

B

解析

解：∵=（1，-3，5），平面α的法向量=（-1，3，-5），

∴．

∵，

∴l⊥α．

故选：B．

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题型：单选题

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单选题

已知平面α的一个法向量为（2，-1，3），平面β的一个法向量为（3，9，1），则平面α和平面β的位置关系是（　　）

A平行

B相交但不垂直

C垂直

D重合

正确答案

C

解析

解：由题意可得（2，-1，3）•（3，9，1）=2×3-1×9+3×1=0，

故两个平面的法向量垂直，故平面α和平面β的位置关系为垂直，

故选C

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