- 空间向量与立体几何
- 共9778题
已知点A（2，1，1），B（0，1，-1），C（1，0，1），试找出平面ABC的-个法向量．
正确答案
解：点A（2，1，1），B（0，1，-1），C（1，0，1），
∴
设平面ABC的法向量为
则
即
令x=1，则y=-1，z=-1，
∴平面ABC的-个法向量为（1，-1，-1）．
解析
解：点A（2，1，1），B（0，1，-1），C（1，0，1），
∴
设平面ABC的法向量为
则
即
令x=1，则y=-1，z=-1，
∴平面ABC的-个法向量为（1，-1，-1）．
下列四个图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图的个数为（ ）
正确答案
解析
解：第一个图，有题意和长方体知，PS∥QR，则P、Q、R、S四个点共面；
第二个图，有题意和长方体知，P、Q、R、S四个点共面；
第三个图，因PR和QS分别是相邻侧面的中位线，所以PR∥QS，即P、Q、R、S四个点共面；
第四个图，根据图中几何体得，P、Q、R、S四个点中任意两个点都在两个平面内，并且任意两个点的连线既不平行也不相交，故四个点共面不共面．
故选：A．
与向量
A
B
C
D
正确答案
解析
解：设与向量
故选C．
直线ax+2y+3=0和直线2x+ay-1=0具有相同的方向向量，则a=______．
正确答案
±2
解析
解：∵直线ax+2y+3=0和直线2x+ay-1=0具有相同的方向向量
∴两条直线互相平行，可得
故答案为：±2
（2015秋•房山区期末）已知平面α的法向量为（2，-4，-2），平面β的法向量为（-1，2，k），若α∥β，则k=﹙）
正确答案
解析
解：设平面α的法向量
∵α∥β，
∴
∴∃实数λ使得
∴
故选：C．
过点P（2，3）且以
正确答案
3x-y-3=0
解析
解：设直线l的另一个方向向量为
可得
∴
所以直线l的点斜式方程为：y-3=3（x-2）
化成一般式：3x-y-3=0
故答案为：3x-y-3=0．
直线l1：ax+2y+3a=0的方向向量恰为l2：3x+（a-5）y-2=0的一个法向量，则实数a的值为______．
正确答案
2
解析
解：直线l1：ax+2y+3a=0的方向向量为（2，-a）；
l2：3x+（a-5）y-2=0的一个法向量为（3，a-5），
∴存在实数λ使得（3，a-5）=λ（2，-a），
∴
解得a=2．
故答案为：2．
我们把在平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系xOy中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A（-3，4），且其法向量为 
正确答案
x+y-z=0
解析
解：根据法向量的定义知，当
任取平面α内一点P（x，y，z），则
∵
∴
化简得x+y-z=0．
故答案为：x+y-z=0．
已知直线l的法向量
正确答案
解：∵直线l的法向量为
∴直线l的方程为-3x+2y+c=0，
∴直线l与x轴的交点为A（
∴△AOB的面积为
解得c=±6；
∴直线l的方程为-3x+2y+6=0或-3x+2y-6=0，
即3x-2y-6=0或3x-2y+6=0．
解析
解：∵直线l的法向量为
∴直线l的方程为-3x+2y+c=0，
∴直线l与x轴的交点为A（
∴△AOB的面积为
解得c=±6；
∴直线l的方程为-3x+2y+6=0或-3x+2y-6=0，
即3x-2y-6=0或3x-2y+6=0．
正确答案
解析
解：如图知B（2，0，0），E（2，1，2），A1（0，0，2），C（2，2，0）
故
令平面A1BE的法向量为
又
故选C
正确答案
解析
解：对于A选项，当|CD|=2|AB|时，若A，B，C，D四点共面AC∥BD时，则M，N两点能重合．故A不对
对于B选项，若M，N两点可能重合，则AC∥BD，故AC∥l，此时直线AC与直线l不可能相交，故B对
对于C选项，当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l平行，故C不对
对于D选项，当AB，CD是异面直线时，MN不可能与l平行，
故选B．
下列各组向量中不平行的是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：选项A中，
选项B中有：
选项C中零向量与任意向量平行，
选项D，事实上不存在任何一个实数λ，使得
故应选：D
已知PA⊥面ABCD，PA=AB=3，面ABCD为正方形．试建立适当的平面直角坐标系，分别求下列平面的法向量．
（1）面ABCD；
（2）面PAB；
（3）面PBC；
（4）面PCD．
正确答案
则（1）面ABCD的法向量为（0，0，1）；
（2）面PAB的法向量为（0，1，0）；
（3）由B（3，0，0），C（3，3，0），P（0，0，3）．
∴
设平面PBC是法向量为
（4）由（3）同理可得：平面PCD的法向量为：
解析
则（1）面ABCD的法向量为（0，0，1）；
（2）面PAB的法向量为（0，1，0）；
（3）由B（3，0，0），C（3，3，0），P（0，0，3）．
∴
设平面PBC是法向量为
（4）由（3）同理可得：平面PCD的法向量为：
（2015秋•陕西校级期末）已知直线l过点P（1，0，-1），平行于向量
A（1，-4，2）
B
C
D（0，-1，1）
正确答案
解析
解：由题意可知，所研究平面的法向量垂直于向量
而
选项A，（2，1，1）•（1，-4，2）=0，（0，2，4）•（1，-4，2）=0满足垂直，故正确；
选项B，（2，1，1）•（
选项C，（2，1，1）•（-
选项D，（2，1，1）•（0，-1，1）=0，但（0，2，4）•（0，-1，1）≠0，故错误．
故选D
已知空间三点A（0，0，2），B（0，2，2），C（2，0，2），求平面ABC的一个法向量．
正确答案
解：∵空间三点A（0，0，2），B（0，2，2），C（2，0，2），
∴
令平面ABC的法向量为
则
可得平面ABC的法向量为
解析
解：∵空间三点A（0，0，2），B（0，2，2），C（2，0，2），
∴
令平面ABC的法向量为
则
可得平面ABC的法向量为
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