热门试卷

解：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A=（1，0，0），C（0，2，0）．…（2分）

（Ⅰ）因为=（1，0，1），=（1，x，-1）

∴•=1+0-1=0，所以D1E⊥A1D；

（Ⅱ）因为E为AB中点，则E（1，1，0），

从而=（1，1，-1），=（-1，2，0），

设AC与D1E所成的角为θ

则…（9分）

（Ⅲ）设平面D1EC的法向量为=（a，b，c），

∵=（1，x-2，0），=（0，2，-1），=（0，0，1）

由，有，

令b=1，从而c=2，a=2-x

∴=（2-x，1，2），…..（12分）

由题意，cos===．

∴x=2+（不合题意，舍去），或x=2-．

∴当AE=2-时，二面角D1-EC-D的大小为．

解：（1）以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别作为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系，

则A（1，0，0），B（1，1，0），，，，

∴，，

∴

故异面直线AG与BF所成角的余弦值为．

（2）∵，，

而，∴，

故与平面BEF共面，

又因为AG不在平面BEF内，

∴AG∥平面BEF．

（3）设M（1，1，m），则

由，

∴，

所以M为棱BB1的中点时，DM⊥平面BEF．

解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则A、B、C、D、P、E的坐标为A（0，0，0）、B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、E（0，，1），从而．…（2分）

设平面PBD的一个法向量为，则

即

令z=1，得=（，2，1）

所以点C到平面PBD的距离…（6分）

（Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，O，z），则，

由NE⊥面PAC可得，即

∴x=，z=1 …10 分

即N点的坐标为，从而N点到AB、AP的距离分别为1， …（12分）

解：（1）以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间坐标系，则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0）．                                 

设P（0，0，2m），则E（1，1，m）．

∴=（-1，1，m），=（0，0，2m），

∴cos＜，＞==，解得m=1．

∴点E坐标是（1，1，1）．

（2）∵F∈平面PAD，∴可设F（x，0，z）⇒=（x-1，-1，z-1）．

∵EF⊥平面PCB，∴⊥⇒（x-1，-1，z-1）•（2，0，0）=0⇒x=1．

∵⊥，∴（x-1，-1，z-1）•（0，2，-2）=0⇒z=0．

∴点F的坐标是（1，0，0），即点F是AD的中点．

解：以点C为空间直角坐标系的坐标原点，CB为x轴，CD为y轴，CP为z轴建如图所示的空间直角坐标系C-xyz，

（1）证明：∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC为PB与平面ABCD成的角，∴∠PBC=30°．

∵PC=2，∴BC=2，PB=4，∴D（0，1，0），B （2，0，0），A（2，4，0），P（0，0，2），

M（，0 ）．∴=（0，-1，2），=（2，3，0），=（，0，  ）． 

设平面PAD的法向量为=（x，y，1），由 =0，且 =0 可得 x=-，y=2，

∴=（-，2，1）．  又因为 •=（-，2，1）•（，0，  ）=0，

∴⊥，又因为 CM不在平面PAD内，∴CM∥平面PAD．

取AP的中点E，则 E（，2，1），=（-，2，1）因为PB=AB，∴⊥．

又因为 •=（-，2，1）•（2，3，0）=0，∴⊥，∴⊥平面PAD；

∴BE平面PAD，又因为 BE⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．

（2）由上面得 ⊥平面PAD，∴ 是平面PAD的法向量，

∴平面PAD的单位法向量为 ==，又因为 =（0，1，0），

∴点C到平面PAD的距离为 d=|•|=|•（0，1，0）|=．

证明：（1）∵=（-1，2，1），=（0，-2，3），═（8，3，2），

∴，，

∴，，

即AP⊥AB且AP⊥AD，

又∵AB∩AD=A

∴AP⊥平面ABCD；

（2）∵=（-1，2，1），=（0，-2，3），═（8，3，2），

∴，，

∴．

解：（1）证明：取AB中点H，连接GH，HE，

∵E，F，G分别是线段PA、PD、CD的中点，

∴GH∥AD∥EF，

∴E，F，G，H四点共面．…（1分）

又H为AB中点，

∴EH∥PB．…（2分）

又EH⊂面EFG，PB⊄平面EFG，

∴PB∥面EFG．…（3分）

（2）解：取BC的中点M，连接GM、AM、EM，则GM∥BD，

∴∠EGM（或其补角）就是异面直线EG与BD所成的角．…（4分）

在Rt△MAE中，，

同理，又，

∴在Rt△MGE中，…（7分）

故异面直线EG与BD所成的角为．…（8分）

（3）假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件．

过点Q作QR⊥AB于R，连接RE，则QR∥AD．

∵ABCD是正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，

∴AD⊥AB，AD⊥PA，

又AB∩PA=A，

∴AD⊥平面PAB．

又∵E，F分别是PA，PD中点，

∴EF∥AD，∴EF⊥平面PAB

又EF⊂面EFQ，

∴面EFQ⊥平面PAB．

过A作AT⊥ER于T，则AT⊥面EFQ，

∴AT就是点A到平面EFQ的距离．…（12分）

设CQ=x（0≤x≤2），则BR=CQ=x，AR=2-x，AE=1，

在Rt△EAR中，

解得．

故存在点Q，当时，点A到平面EFQ的距离为…（14分）

（1）证明：如图分别以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，由已知得D（0，0，0）、A1（2，0，2）、B（2，2，0）、A（2，0，0）、C（0，2，0）、C1（0，2，2）、D1（0，0，2）、E（1，0，2）、F（0，2，1）．

取BC1中点G，则G（1，2，1），=（-1，2，-1），

又=（-1，2，-1），∴=，

∴与共线，∴EF∥A1G，

∵A1G⊂平面A1C1B，EF⊄平面A1C1B，

∴EF∥平面A1C1B；

（2）解：∵=（0，2，0），=（-1，2，-1），

∴cos＜，＞===

∴异面直线EF与AB所成角的余弦值为．