空间向量与立体几何_章节学习

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题型：简答题

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简答题

如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，∠DAB=90°，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=3，梯形上底AD=1．

（1）求证：BC⊥平面PAB；

（2）求面PCD与面PAB所成锐二面角的正切值；

（3）在PC上是否存在一点E，使得DE∥平面PAB？若存在，请找出；若不存在，说明理由．

正确答案

（1）证明：由题意，∵BC∥AD，∠DAB=90°，

∴BC⊥AB

∵PA⊥平面ABCD

∴BC⊥PA，又PA∩AB=A

∴BC⊥平面PAB；

（2）解：延长BA、CD交于Q点，过A作AH⊥PQ，垂足为H，连DH

由（1）及AD∥BC知：AD⊥平面PAQ

∴AD⊥PQ且AH⊥PQ

所以PQ⊥平面HAD，即PQ⊥HD．

所以∠AHD是面PCD与面PBA所成的二面角的平面角

∵PA=AB=BC=3，梯形上底AD=1

∴，

∴

所以面PCD与面PAB所成二面角的正切值为

（3）解：存在．

在BC上取一点F，使BF=1，则DF∥AB．由条件知，PC=3，在PC上取点E，使PE=，则EF∥PB，

所以，平面EFD∥平面PAB，

因为DE⊂平面EFD，

所以DE∥平面PAB

解析

（1）证明：由题意，∵BC∥AD，∠DAB=90°，

∴BC⊥AB

∵PA⊥平面ABCD

∴BC⊥PA，又PA∩AB=A

∴BC⊥平面PAB；

（2）解：延长BA、CD交于Q点，过A作AH⊥PQ，垂足为H，连DH

由（1）及AD∥BC知：AD⊥平面PAQ

∴AD⊥PQ且AH⊥PQ

所以PQ⊥平面HAD，即PQ⊥HD．

所以∠AHD是面PCD与面PBA所成的二面角的平面角

∵PA=AB=BC=3，梯形上底AD=1

∴，

∴

所以面PCD与面PAB所成二面角的正切值为

（3）解：存在．

在BC上取一点F，使BF=1，则DF∥AB．由条件知，PC=3，在PC上取点E，使PE=，则EF∥PB，

所以，平面EFD∥平面PAB，

因为DE⊂平面EFD，

所以DE∥平面PAB

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题型：填空题

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填空题

已知过点（0，1）的直线l：xtanα-y-3tanβ=0的一个法向量为（2，-1），则tan（α+β）=______．

正确答案

1

解析

解：∵过点（0，1）的直线l：xtanα-y-3tanβ=0的一个法向量为（2，-1），

∴-1-3tanβ=0，tanα=-1．

∴，tanα=2．

∴tan（α+β）===1，

故答案为：1．

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题型：填空题

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填空题

设，则与平行的单位向量的坐标为______，同时垂直于的单位向量=______．

正确答案

或

解析

解：①设与平行的单位向量的坐标为则

=（2μ，6μ，-3μ）

且||=1=

解得

∴=或=

②同时垂直于的单位向量=（x，y，z）

则

即

解得：或

∴=或=

故答案为：或；或

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题型：单选题

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单选题

设两不同直线a，b的方向向量分别是，平面α的法向量是，

则下列推理①；②；③； ④；

其中正确的命题序号是（　　）

A①②③

B②③④

C①③④

D①②④

正确答案

B

解析

解：若，则b⊥α，故①错误；

若则，，故②正确；

若，则b∥α，故③正确；

若，则，又由b⊄α，故b⊥α，故④正确；

故选B．

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题型：简答题

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简答题

在三棱锥P-ABC中，PB⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PB=2，BC=2，E、G分别为PC、PA的中点．

（I）求证：平面BCG⊥平面PAC；

（II）在线段AC上是否存在一点N，使PN⊥BE？证明你的结论．

正确答案

解：（Ⅰ）∵PB⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

∴BC⊥PB，

又AB⊥BC，AB∩BP=B，

∴BC⊥平面PAB，PA⊂平面PAB，

∴BC⊥PA．①

又AB=PB=2，△PAB为等腰直角三角形，G为斜边PA的中点，

∴BG⊥PA，②又BG∩BC=B，

∴PA⊥平面BCG，PA⊂平面PAC，

∴平面BCG⊥平面PAC；

（Ⅱ）以点B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，BP为z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），E（0，，1），

设存在点N∈AC，使PN⊥BE，点N的坐标设为：N（x0，y0，0）

则：得=（0，，1），=（x0，y0，-2）

由相似三角形得：，即，

∴y0=2-x0．

∴=（x0，2-x0，-2）

又PN⊥BE，

∴•=0．

∴0×x0+×（2-x0）+1×（-2）=0，

∴x0=∈[0，2]

故存在点N∈AC，使PN⊥BE．

解析

解：（Ⅰ）∵PB⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

∴BC⊥PB，

又AB⊥BC，AB∩BP=B，

∴BC⊥平面PAB，PA⊂平面PAB，

∴BC⊥PA．①

又AB=PB=2，△PAB为等腰直角三角形，G为斜边PA的中点，

∴BG⊥PA，②又BG∩BC=B，

∴PA⊥平面BCG，PA⊂平面PAC，

∴平面BCG⊥平面PAC；

（Ⅱ）以点B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，BP为z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），E（0，，1），

设存在点N∈AC，使PN⊥BE，点N的坐标设为：N（x0，y0，0）

则：得=（0，，1），=（x0，y0，-2）

由相似三角形得：，即，

∴y0=2-x0．

∴=（x0，2-x0，-2）

又PN⊥BE，

∴•=0．

∴0×x0+×（2-x0）+1×（-2）=0，

∴x0=∈[0，2]

故存在点N∈AC，使PN⊥BE．

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题型：填空题

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填空题

（2015春•淮安校级期末）已知A，B，C的坐标分别为（0，1，0），（-1，0，-1），（2，1，1），点P的坐标是（x，0，y），若PA⊥平面ABC，则点P的坐标是______．

正确答案

（-1，0，2）

解析

解：根据题意，可得

=（-1，-1，-1），=（2，0，1），=（x，-1，y）

∵PA⊥平面ABC，

∴⊥且⊥，可得，

解之得x=-1，y=2，可得P的坐标是（-1，0，2）．

故答案为：（-1，0，2）．

1

题型：填空题

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填空题

已知向量=（1，1，0），=（-1，0，2），且k+与2互相垂直，则k值是______．

正确答案

解析

解：∵向量=（1，1，0），=（-1，0，2），

∴k+=（k-1，k，2），2=（3，2，-2）

∵k+与2互相垂直，

则（k+）•（2）=3（k-1）+2k-4=5k-7=0

解得k=

故答案为：

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题型：简答题

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简答题

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．

（1）证明：D1E⊥A1D；

（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离．

正确答案

解：（1）分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴，建立如图的坐标系，则，设E（1，t，0），

所以，，

∴D1E⊥A1D；

（2）当E为AB的中点时，E（1，1，0），，

设平面ACD1的法向量是，

求出，，由，得

∵=（1，1，-1）

由点到平面的距离公式，得，

∴点E到面ACD1的距离是．

解析

解：（1）分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴，建立如图的坐标系，则，设E（1，t，0），

所以，，

∴D1E⊥A1D；

（2）当E为AB的中点时，E（1，1，0），，

设平面ACD1的法向量是，

求出，，由，得

∵=（1，1，-1）

由点到平面的距离公式，得，

∴点E到面ACD1的距离是．

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题型：单选题

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单选题

已知平面外一点P和平面内不共线三点A、B、C，A′、B′、C′分别在PA、PB、PC上，若延长A′B′、B′C′、A′C′与平面分别交于D、E、F三点，则D、E、F三点（　　）

A成钝角三角形

B成锐角三角形

C成直角三角形

D在一条直线上

正确答案

D

解析

解：∵A′、B′、C′分别在PA、PB、PC上，且三点不共线，

∴A′、B′、C′确定一个平面，

∵A′B′、B′C′、A′C′与平面ABC分别交于D、E、F三点，

∴D、E、F为已知平面ABC与平面A′B′C′的公共点，

由公理2知，D、E、F共线．

故选D．

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题型：填空题

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填空题

若直线l的方向向量=（-2，3，1）平面α的一个法向量=（4，0，1）则直线l与平面α所成的角的正弦值为______．

正确答案

解析

解：直线l与平面α所成的角的正弦值====．

故答案为：．

1

题型：简答题

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简答题

已知四棱台ABCD-A1B1C1D1（如图）中，底面ABCD是正方形，且DD1⊥底面ABCD，AB=2A1B1=2DD1=2a．

（1）求异面直线AB1与DD1所成角的余弦值；

（2）试在平面ADD1A1中确定一个点F，使得FB1⊥平面BCC1B1．

正确答案

解：以D为原点，DA、DC、DD1所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则D（0，0，0），A（2a，0，0），B1（a，a，a），D1（0，0，a），B（2a，2a，0），C（0，2a，0），C1（0，a，a）

（1）∵=（-a，a，a），=（0，0，a），

∴cos，

即直线AB1与DD1所成角的余角的余弦值为

（2）设F（x，0，z），

∵=（-a，-a，a），=（-2a，0，0），=（a-x，a1，a-z），

由FB1⊥平面BCC1B1得即得

∴F（a，0，0），即F为DA的中点．

解析

解：以D为原点，DA、DC、DD1所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则D（0，0，0），A（2a，0，0），B1（a，a，a），D1（0，0，a），B（2a，2a，0），C（0，2a，0），C1（0，a，a）

（1）∵=（-a，a，a），=（0，0，a），

∴cos，

即直线AB1与DD1所成角的余角的余弦值为

（2）设F（x，0，z），

∵=（-a，-a，a），=（-2a，0，0），=（a-x，a1，a-z），

由FB1⊥平面BCC1B1得即得

∴F（a，0，0），即F为DA的中点．

1

题型：填空题

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填空题

已知向量，若，则x=______；若则x=______．

正确答案

-6

解析

解：若，则 •=．

若，则 ==，

∴x=-6，

故答案为，-6．

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题型：简答题

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简答题

如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4．

（1）求证：AC⊥BC1；

（2）在AB上是否存在点D，使得AC1∥平面CDB1，若存在，确定D点位置并说明理由，若不存在，说明理由．

正确答案

（1）证明：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B（0，4，0），B1（0，4，4）．

∵=（-3，0，0），=（0，-4，4），∴•=0，即⊥，

∴AC⊥BC1．

（2）解：假设在AB上存在点D使得AC1∥平面CDB1，则=λ=（-3λ，4λ，0），其中0≤λ≤1，则D（3-3λ，4λ，0），=（3-3λ，4λ-4，-4），

又=（0，-4，-4），=（-3，0，4），AC1∥平面CDB1，所以存在实数m，n，使=m+n成立，

∴m（3-3λ）=-3，m（4λ-4）-4n=0，-4m-4n=4，

所以λ=，所以在AB上存在点D使得AC1∥平面CDB1，且D为AB的中点．

解析

（1）证明：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B（0，4，0），B1（0，4，4）．

∵=（-3，0，0），=（0，-4，4），∴•=0，即⊥，

∴AC⊥BC1．

（2）解：假设在AB上存在点D使得AC1∥平面CDB1，则=λ=（-3λ，4λ，0），其中0≤λ≤1，则D（3-3λ，4λ，0），=（3-3λ，4λ-4，-4），

又=（0，-4，-4），=（-3，0，4），AC1∥平面CDB1，所以存在实数m，n，使=m+n成立，

∴m（3-3λ）=-3，m（4λ-4）-4n=0，-4m-4n=4，

所以λ=，所以在AB上存在点D使得AC1∥平面CDB1，且D为AB的中点．

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题型：简答题

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简答题

如图，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=，求平面SCD的法向量．

正确答案

解：由题意，以A为原点，分别以AD、AB、AS所在直线为x、y、z轴建立坐标系，

可得S（0，0，1），D（，0，0），C（1，1，0），

∴=（1，1，-1），=（，0，-1），

设平面SCD的法向量为=（x，y，z），

则，解得，

取z=1可得平面SCD的一个法向量为=（2，-1，1），

解析

解：由题意，以A为原点，分别以AD、AB、AS所在直线为x、y、z轴建立坐标系，

可得S（0，0，1），D（，0，0），C（1，1，0），

∴=（1，1，-1），=（，0，-1），

设平面SCD的法向量为=（x，y，z），

则，解得，

取z=1可得平面SCD的一个法向量为=（2，-1，1），

1

题型：填空题

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填空题

（2015秋•漳州校级期末）若和分别为平面α和平面β的一个法向量，且α⊥β，则实数λ=______．

正确答案

3

解析

解：∵α⊥β，

∴，

∴=λ-6+3=0，

解得λ=3．

故答案为：3．

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