空间向量与立体几何_章节学习

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题型：单选题

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单选题

（2014秋•和县校级期末）在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF与HG交于点M，那么（　　）

AM一定在直线AC上

BM一定在直线BD上

CM可能在直线AC上，也可能在直线BD上

DM既不在直线AC上，也不在直线BD上

正确答案

A

解析

解：由于ABCD是空间四边形，故AB，BC确定平面ABC，CD，DA确定平面ACD．

∵E∈AB，F∈BC，G∈CD，H∈DA

∴EF⊂面ABC，GH⊂面ACD∵EF∩GH=M∴M∈面ABC，M∈面ACD

∵面ABC∩面ACD=AC

∴M∈AC

故选A．

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题型：填空题

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填空题

若直线l与直线2x+5y-1=0垂直，则直线l的方向向量为______．

正确答案

（2，5）

解析

解：直线l与直线2x+5y-1=0垂直，

所以直线l：5x-2y+k=0，

所以直线l的方向向量为：（2，5）．

故答案为：（2，5）

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题型：单选题

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单选题

在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=λ（0≤λ≤1），则点G到平面D1EF的距离为（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：因为A1B1∥EF，G在A1B1上，所以G到平面D1EF的距离即是A1到面D1EF的距离，

即是A1到D1E的距离，D1E=，由三角形面积可得所求距离为，

故选：D

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题型：填空题

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填空题

直线3x-y+2=0的单位法向量是______．

正确答案

解析

解：由直线3x-y+2=0可得法向量=（-3，1），

因此其单位法向量=±=．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

已知向量=（1，1，0），=（-1，0，2）．

（Ⅰ）若向量k+与向量2-互相平行，求实数k的值；

（Ⅱ）求由向量和向量所确定的平面的单位法向量．

正确答案

解：（1）向量k+=k（1，1，0）+（-1，0，2）=（k-1，k，2）．

向量2-=2（1，1，0）-（-1，0，2）=（3，2，-2）．

∵（k+）∥（2-），

∴，

解得k=-2．

（2）设平面的法向量=（x，y，z），则==0，

∴，令z=1，解得x=2，y=-2，

即所求平面的一个法向量为（2，-2，1），

故单位法向量为或．

解析

解：（1）向量k+=k（1，1，0）+（-1，0，2）=（k-1，k，2）．

向量2-=2（1，1，0）-（-1，0，2）=（3，2，-2）．

∵（k+）∥（2-），

∴，

解得k=-2．

（2）设平面的法向量=（x，y，z），则==0，

∴，令z=1，解得x=2，y=-2，

即所求平面的一个法向量为（2，-2，1），

故单位法向量为或．

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题型：填空题

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填空题

如图，在三棱锥P-ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=3，PB=2，PC=2．设M是底面ABC内一点，定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是三棱锥M-PAB、三棱锥M-PBC、三棱锥M-PCA的体积．若f（M）=（，x，y），则的最小值是______．

正确答案

3+

解析

解：∵PA、PB、PC两两垂直，且PA=3．PB=2，PC=2．

∴V P-ABC=3×2×2=2=x+y，

即x+y=，所以=（5+）≥3+；

当且仅当时=成立；

故答案为：3+；

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题型：填空题

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填空题

①所谓直线的方向向量，就是指______的向量，一条直线的方向向量有______个；

②所谓平面的法向量，就是______一个平面的法向量有______个．

正确答案

和这条直线所对应的向量平行

无数

与平面垂直的向量

无数

解析

解：①直线的方向向量是指和这条直线所对应的向量平行的向量，一条直线的方向向量有无数个；

②所谓平面的法向量，就是与平面垂直的向量，一个平面的法向量有无数个．

故答案为：和这条直线所对应的向量平行；无数；与平面垂直的向量；无数．

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题型：单选题

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单选题

若直线l的方向向量为，平面α的法向量，则能使l∥α的是（　　）

A=（1，0，0），=（-2，0，0）

B=（1，3，5），=（1，0，1）

C=（3，-1，3），=（0，3，1）

D=（0，2，-1），=（-2，-1，2）

正确答案

C

解析

解：若l∥α，则=0，

而A中=-2，

B中=1+5=6，

C中=0，D选项中=-2-2=-4．

故选C．

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题型：单选题

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单选题

已知=（1，2，2，），=（2，-2，1），则平面ABC的一个单位法向量可表示为（　　）

A（2，1，-2）

B（，，）

C（，-，）

D（，，-）

正确答案

D

解析

解：设平面ABC的一个法向量为=（x，y，z），

则，令x=1，则y=，z=-1．

∴．

∴平面ABC的一个单位法向量可表示===．

故选：D．

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题型：填空题

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填空题

已知=（1，0，2），=（2，1，1），则平面ABC的一个法向量为______．

正确答案

（-2，3，1）

解析

解：=（1，0，2），=（2，1，1），

设平面ABC的法向量为=（x，y，z），

则，即，取x=-2，则z=1，y=3．

∴=（-2，3，1）．

故答案为：（-2，3，1）．

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题型：填空题

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填空题

如图，边长为a的正△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，现给出下列命题：①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；②三棱锥A′-FED的体积有最大值；③恒有平面A′GF⊥平面BCED；

④异面直线A′E与BD不可能互相垂直；⑤异面直线FE与A′D所成角的取值范围是．其中正确命题的序号是______．（将正确命题的序号都填上）

正确答案

①②③⑤

解析

解：过A‘作A'H⊥面ABC，垂足为H

∵△ABC为正三角形且中线AF与中位线DE相交

∴AG⊥DE A'G⊥DE 又∵AG∩A'G=G

∴DE⊥面A'GA

∵DE⊂面ABC∴面A'GA⊥面ABC 且面A'GA∩面ABC=AF

∴H在AF上，故①对③对．

S三棱锥A′-FED=•A'H

∵底面面积是个定值，∴当A'H为A'G时，三棱锥的面积最大，故②对

由异面直线所成角的定义知：异面直线FE与A′D所成角的取值范围是，故⑤对．

在△A′ED是△AED绕DE旋转的过程中异面直线A′E与BD可能互相垂直，故④不对

故答案为：①②③⑤

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题型：单选题

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单选题

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2=10，S5=55，则过点P（n，an）（n∈N*）和Q（n+2，an+2）（n∈N*）的直线的一个方向向量坐标可以是（　　）

A（2，4）

B（-1，-1）

C

D

正确答案

B

解析

解：设等差数列{an}的公差为d，∵S2=10，S5=55，

∴，解得a1=3，d=4．

∴an=3+4（n-1）=4n-1．

∴kPQ==1，

∴过点P（n，an）（n∈N*）和Q（n+2，an+2）（n∈N*）的直线的一个方向向量坐标可以是（-1，-1）．

故选：B．

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题型：简答题

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简答题

如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M、N分别是

CC1、BC的中点，点P在A1B1上，且满足=λ（λ∈R）．

（1）证明：PN⊥AM；

（2）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该最大角的正切值；

（3）若平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，试确定点P的位置．

正确答案

解：（1）证明：如图，以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz．

则P（λ，0，1），N（，，0），M（0，1，），（2分）

从而=（-λ，，-1），=（0，1，），

=（-λ）×0+×1-1×=0，

所以PN⊥AM．（3分）

（2）平面ABC的一个法向量为=（0，0，1），

则sinθ=|sin（-＜，＞）|=|cos＜，＞|

=||=（※）．（5分）

而θ∈[0，]，当θ最大时，sinθ最大，tanθ最大，θ=除外，

由（※）式，当λ=时，（sinθ）max=，（tanθ）max=2．（6分）

（3）平面ABC的一个法向量为==（0，0，1）．

设平面PMN的一个法向量为=（x，y，z），

由（1）得=（λ，-1，）．

由

解得

∵平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，

∴|cos＜，＞|=||==，

解得λ=-．（11分）

故点P在B1A1的延长线上，且|A1P|=．（12分）

解析

解：（1）证明：如图，以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz．

则P（λ，0，1），N（，，0），M（0，1，），（2分）

从而=（-λ，，-1），=（0，1，），

=（-λ）×0+×1-1×=0，

所以PN⊥AM．（3分）

（2）平面ABC的一个法向量为=（0，0，1），

则sinθ=|sin（-＜，＞）|=|cos＜，＞|

=||=（※）．（5分）

而θ∈[0，]，当θ最大时，sinθ最大，tanθ最大，θ=除外，

由（※）式，当λ=时，（sinθ）max=，（tanθ）max=2．（6分）

（3）平面ABC的一个法向量为==（0，0，1）．

设平面PMN的一个法向量为=（x，y，z），

由（1）得=（λ，-1，）．

由

解得

∵平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，

∴|cos＜，＞|=||==，

解得λ=-．（11分）

故点P在B1A1的延长线上，且|A1P|=．（12分）

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题型：简答题

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简答题

（1）如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真．

（2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）

正确答案

证明：（1）证法一：如图，过直线b上任一点作平面α的垂线n，设直线a，b，c，n对应的方向向量分别是，则共面，

根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得，

则=

因为a⊥b，所以，

又因为a⊂α，n⊥α，

所以，

故，从而a⊥c

证法二

如图，记c∩b=A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P做PO⊥π，垂足为O，则O∈c，

∵PO⊥π，a⊂π，

∴直线PO⊥a，

又a⊥b，b⊂平面PAO，PO∩b=P，

∴a⊥平面PAO，

又c⊂平面PAO，

∴a⊥c

（2）逆命题为：a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a⊥c，则a⊥b，

逆命题为真命题

解析

证明：（1）证法一：如图，过直线b上任一点作平面α的垂线n，设直线a，b，c，n对应的方向向量分别是，则共面，

根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得，

则=

因为a⊥b，所以，

又因为a⊂α，n⊥α，

所以，

故，从而a⊥c

证法二

如图，记c∩b=A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P做PO⊥π，垂足为O，则O∈c，

∵PO⊥π，a⊂π，

∴直线PO⊥a，

又a⊥b，b⊂平面PAO，PO∩b=P，

∴a⊥平面PAO，

又c⊂平面PAO，

∴a⊥c

（2）逆命题为：a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a⊥c，则a⊥b，

逆命题为真命题

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题型：单选题

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单选题

已知=（1，-3，λ），=（2，4，-5），若⊥，则λ=（　　）

A-4

B-2

C2

D3

正确答案

B

解析

解：因为=（1，-3，λ），=（2，4，-5），并且⊥，

所以2-12-5λ=0，

解得：λ=-2．

故选B．

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