空间向量与立体几何_章节学习

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题型：简答题

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简答题

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，且AC=BC=CC1=2，M是AB1，A1B的交点，N是B1C1的中点．

（Ⅰ）求证：MN⊥平面A1BC；

（Ⅱ）求平面AA1B与平面A1BC夹角的大小．

正确答案

（Ⅰ）证明：以C为原点，分别以CB、CC1、CA为x、y、z轴建立坐标系，则由AC=BC=CC1=2，知A1（0，2，2），B1（2，2，0），B（2，0，0），C1（0，2，0），∴M（1，1，1），N（1，2，0），

∴=（2．-2，-2），=（2，0，0），=（0，1，-1），…（3分）

∴，，

∴MN⊥A1B，MN⊥CB，∴MN⊥平面A1BC； …（6分）

（Ⅱ）作CH⊥AB于H点，∵平面ABC⊥平面ABB1A1，∴CH⊥平面A1BA，

故平面A1BA的一个法向量为，

而平面A1BC的一个法向量为，…（9分）

∴cos=||=

∵，

∴平面AA1B与平面A1BC夹角的大小为．…（12分）

解析

（Ⅰ）证明：以C为原点，分别以CB、CC1、CA为x、y、z轴建立坐标系，则由AC=BC=CC1=2，知A1（0，2，2），B1（2，2，0），B（2，0，0），C1（0，2，0），∴M（1，1，1），N（1，2，0），

∴=（2．-2，-2），=（2，0，0），=（0，1，-1），…（3分）

∴，，

∴MN⊥A1B，MN⊥CB，∴MN⊥平面A1BC； …（6分）

（Ⅱ）作CH⊥AB于H点，∵平面ABC⊥平面ABB1A1，∴CH⊥平面A1BA，

故平面A1BA的一个法向量为，

而平面A1BC的一个法向量为，…（9分）

∴cos=||=

∵，

∴平面AA1B与平面A1BC夹角的大小为．…（12分）

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题型：简答题

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简答题

在如图所示的几何体ABCED中，EC⊥面ABC，DB⊥面ABC，CE=CA=CB=2DB，∠ACB=90°，M为

AD的中点．（1）证明：EM⊥AB；（2）求直线BM和平面ADE所成角的正弦值．

正确答案

解：（1）证明：以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设DB=1，则 CE=CA=CB=2．

由于A（2，0，0），B（0，2，0），E（0，0，2），D（0，2，1），M（1，1，），∴=（1，1-），

=（-2，2，0），∴=-2+2+0=0，∴，∴EM⊥AB．

（2）由（1）知 =（1，-1，），=（-2，2，1），=（-2，0，2），=（0，-2，1）．

设面ADE的法向量为 =（x，y，z），则，即，

取 =（2，1，2）设直线BM和平面ADE所成角为θ，则 sinθ=|cos＜，＞=||=．

解析

解：（1）证明：以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设DB=1，则 CE=CA=CB=2．

由于A（2，0，0），B（0，2，0），E（0，0，2），D（0，2，1），M（1，1，），∴=（1，1-），

=（-2，2，0），∴=-2+2+0=0，∴，∴EM⊥AB．

（2）由（1）知 =（1，-1，），=（-2，2，1），=（-2，0，2），=（0，-2，1）．

设面ADE的法向量为 =（x，y，z），则，即，

取 =（2，1，2）设直线BM和平面ADE所成角为θ，则 sinθ=|cos＜，＞=||=．

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题型：单选题

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单选题

如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（　　）

AAC⊥BE

B△AEF的面积与△BEF的面积相等

CEF∥平面ABCD

D三棱锥A-BEF的体积为定值

正确答案

B

解析

解：A．AC⊥BE，由题意及图形知，AC⊥面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，此命题正确，排除A选项；

B．由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF的面积相等不正确，故B是错误的；

C．EF∥平面ABCD，由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，此命题正确，排除B选项；

D．三棱锥A-BEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B距离是定值，故可得三棱锥A-BEF的体积为定值，此命题正确，排除D选项；

故选：B．

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题型：填空题

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填空题

若直线l的方向向量为（4，2，m），平面α的法向量为（2，1，-1），且l⊥α，则m=______．

正确答案

-2

解析

解：∵l⊥α，

又∵直线l的方向向量为（4，2，m），平面α的法向量为（2，1，-1），

∴向量（4，2，m）与向量（2，1，-1）平行，

则存在实数λ使（4，2，m）=λ（2，1，-1）

即

故m=-2

故答案为：-2

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题型：单选题

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单选题

已知线段AB的两端点坐标为A（9，-3，4），B（9，2，1），则线段AB与坐标平面（　　）

AxOy平行

BxOz平行

CyOz平行

DyOz相交

正确答案

C

解析

解：∵A（9，-3，4），B（9，2，1），

∴=（9，2，1）-（9，-3，4）=（0，5，-3），

∵yOz平面内的向量的一般形式为

∴向量∥，可得AB∥平面yOz．

故选：C

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题型：单选题

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单选题

已知A（-4，6，-1），B（4，3，2），则下列各向量中是平面AOB（O是坐标原点）的一个法向量的是（　　）

A（0，1，6）

B（-1，2，-1）

C（-15，4，36）

D（15，4，-36）

正确答案

B

解析

解：设平面AOB（O是坐标原点）的一个法向量是=（x，y，z）

则，

即，

令x=-1，解得，

故=（-1，2，-1），

故选B．

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题型：简答题

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简答题

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC，E是侧棱CC1上的任意一点，在线段A1C1上是否存在一个定点P，使得D1P都垂直于AE，证明你的结论．

正确答案

（本题满分12分）

解：假设在线段A1C1上存在一个定点P，使得D1P都

垂直于AE，如图，分别以方向为x轴，y轴，z轴

正方向，建立空间直角坐标系．

依题意可设AB=a，AA1=b，EC=t，D1（0，0，b），P（x，a-x，b），

A（a，0，0），E（0，a，t）（4分）

则有（6分）

由（8分）

求得即为A1C1中点

∴假设成立，即线段A1C1中点P，使得D1P都垂直于AE．（12分）

解析

（本题满分12分）

解：假设在线段A1C1上存在一个定点P，使得D1P都

垂直于AE，如图，分别以方向为x轴，y轴，z轴

正方向，建立空间直角坐标系．

依题意可设AB=a，AA1=b，EC=t，D1（0，0，b），P（x，a-x，b），

A（a，0，0），E（0，a，t）（4分）

则有（6分）

由（8分）

求得即为A1C1中点

∴假设成立，即线段A1C1中点P，使得D1P都垂直于AE．（12分）

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题型：简答题

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简答题

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点．

（1）求证AM∥平面BDE；

（2）求二面角A-DF-B的大小；

（3）试在线段AC上一点P，使得PF与CD所成的角是60°．

正确答案

证明：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系

设AC∩BD=N，连接NE，

则点N、E的坐标分别是（、（0，0，1），

∴=（，

又点A、M的坐标分别是

（）、（

∴=（

∴=且NE与AM不共线，

∴NE∥AM

又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，

∴AM∥平面BDF

解：（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∩AD=A，

∴AB⊥平面ADF

∴为平面DAF的法向量

∵=•=0，

∴=•=0得，∴NE为平面BDF的法向量

∴cos＜＞=

∴的夹角是60°

即所求二面角A-DF-B的大小是60°

（3）设P（x，x，0），，，则

cos=||，解得或（舍去）

所以当点P为线段AC的中点时，直线PF与CD所成的角为60°．（12分）

解析

证明：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系

设AC∩BD=N，连接NE，

则点N、E的坐标分别是（、（0，0，1），

∴=（，

又点A、M的坐标分别是

（）、（

∴=（

∴=且NE与AM不共线，

∴NE∥AM

又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，

∴AM∥平面BDF

解：（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∩AD=A，

∴AB⊥平面ADF

∴为平面DAF的法向量

∵=•=0，

∴=•=0得，∴NE为平面BDF的法向量

∴cos＜＞=

∴的夹角是60°

即所求二面角A-DF-B的大小是60°

（3）设P（x，x，0），，，则

cos=||，解得或（舍去）

所以当点P为线段AC的中点时，直线PF与CD所成的角为60°．（12分）

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题型：简答题

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简答题

已知正方形ABCD，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F．求证：DP⊥EF．

正确答案

证明：以A为原点，AB、AD分别为x轴、y轴建立直角坐标系，

设正方形边长为1，则=（1，0），=（0，1）．

由已知，可设=（a，a），并可得=（1-a，0），=（0，a），=（1-a，a），=-=（a，a-1），

∵•=（1-a，a）•（a，a-1）=（1-a）a+a（a-1）=0．

∴⊥，因此DP⊥EF．

解析

证明：以A为原点，AB、AD分别为x轴、y轴建立直角坐标系，

设正方形边长为1，则=（1，0），=（0，1）．

由已知，可设=（a，a），并可得=（1-a，0），=（0，a），=（1-a，a），=-=（a，a-1），

∵•=（1-a，a）•（a，a-1）=（1-a）a+a（a-1）=0．

∴⊥，因此DP⊥EF．

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题型：单选题

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单选题

如果直线l的方向向量是，且直线l上有一点P不在平面α上，平面α的法向量是，那么（　　）

Al⊥α

Bl∥α

Cl⊂α

Dl与α斜交

正确答案

B

解析

解：∵直线l的方向向量是，平面α的法向量是，

∴=-4+0+4=0

∴直线l在平面α内或者与平面平行

又直线l上有一点P不在平面α上，

∴l∥α

故选B

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题型：简答题

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简答题

已知长方体ABCD-A′B′C′D′的上，下底面都是边长为3的正方形，长方体的高为4，如图建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量．

（1）AB′（2）BB′（3）B′D（4）CB′．

正确答案

解：如图所示，

B′，A，B，C，D．

∴（1）=（0，0，4）；

（2）=（0，0，-4）；

（3）=；

（4）=．

解析

解：如图所示，

B′，A，B，C，D．

∴（1）=（0，0，4）；

（2）=（0，0，-4）；

（3）=；

（4）=．

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题型：简答题

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简答题

已知四点A（2，3，1），B（-5，4，1），C（6，2，-3），D（5，-2，1），求通过点A且垂直于B，C，D所确定的平面的直线方程．

正确答案

解：=（6+5，2-4，-3-1）=（11，-2，-4），

=（5+5，-2-4，1-1）=（10，-6，0），

取直线L的方向向量为=（x，y，z），

则•=0①，•=0②；

即，

解得直线L的方向向量为=（12，20，23）；

所以过点A且垂直于B，C，D所确定的平面的直线方程是：

==．

解析

解：=（6+5，2-4，-3-1）=（11，-2，-4），

=（5+5，-2-4，1-1）=（10，-6，0），

取直线L的方向向量为=（x，y，z），

则•=0①，•=0②；

即，

解得直线L的方向向量为=（12，20，23）；

所以过点A且垂直于B，C，D所确定的平面的直线方程是：

==．

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题型：填空题

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填空题

（2015秋•九江校级期末）已知平面α的一个法向量，A∈α，P∉α，且，则直线PA与平面α所成的角为______．

正确答案

解析

解：设直线PA与平面α所成的角为θ，则sinθ=|cosα|===，

∴直线PA与平面α所成的角为．

故答案为：．

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题型：单选题

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单选题

三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AC⊥BC1，过C1作底面ABC 的垂线C1O，垂足为O，则点O一定落在（　　）

A直线AB上

B直线BC上

C直线CA上

D△ABC的内部

正确答案

A

解析

解：连接AC1，

∵∠BAC=90°，即AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1=B

∴AC⊥平面ABC1，

∴平面ABC⊥平面ABC1，

若C1O⊥底面ABC

则C1O⊂平面ABC1，

即O点在直线AB上，

故选A

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题型：填空题

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填空题

若，，是平面α内的三点，设平面α的法向量，则x：y：z=______．

正确答案

2：3：（-4）

解析

解：，

∴．

故答案为 2：3：-4．

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