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题型:简答题
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简答题

如图1,A,D分别是矩形A1BCD1上的点,AB=2AA1=2AD=2,DC=2DD1,把四边形A1ADD1沿AD折叠,使其与平面ABCD垂直,如图2所示,连接A1B,D1C得几何体ABA1­DCD1.

(1)当点E在棱AB上移动时,证明:D1E⊥A1D;

(2)在棱AB上是否存在点E,使二面角D1­EC­D的平面角为?若存在,求出AE的长;若不存在,请说明理由.

正确答案

(1)见解析   (2)存在,

解:(1)证明,如图,以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系D­xyz,

则D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,2,0),A1(1,0,1),D1(0,0,1).设E(1,t,0),

=(1,t,-1),=(-1,0,-1),

·=1×(-1)+t×0+(-1)×(-1)=0,

∴D1E⊥A1D.

(2)假设存在符合条件的点E.设平面D1EC的法向量为n=(x,y,z),

由(1)知=(-1,2-t,0),

令y=,则x=1-t,z=1,

∴n=是平面D1EC的一个法向量,

显然平面ECD的一个法向量为=(0,0,1),

则cos〈n,〉=

=cos

解得t=2- (0≤t≤2).

故存在点E,

当AE=2-时,二面角D1­EC­D的平面角为.

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题型:简答题
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简答题

在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1⊥面ABC,AA1=a,A1C=CA=AB=a,AB⊥AC,D为AA1中点.

(1)求证:CD⊥面ABB1A1

(2)在侧棱BB1上确定一点E,使得二面角E-A1C1-A的大小为.

正确答案

(1)详见解析;(2)点满足.

试题分析:(1)由面ACC1A1⊥面ABCAB⊥面ACC1A1AB⊥CD,由D为AA1中点,AC=A1C可推出CD⊥AA1,从而得到CD⊥面ABB1A1.(2)由题意,以点C为坐标系原点,CA为x轴,过C点平行于AB的直线为y轴,CA1为z轴,建立空间直角坐标系C-xyz,求平面面A1C1A的一个法向量、平面EA1C1的一个法向量,利用向量法求解.

(1)【证】∴面ACC1A1⊥面ABC,AB⊥AC

∴AB⊥面ACC1A1,即有AB⊥CD;

又AC=A1C,D为AA1中点,则CD⊥AA1  ∴CD⊥面ABB1A1.(6分)

(2)【解】如图所示以点C为坐标系原点,CA为x轴,过C点平行于AB的直线为y轴,CA1为z轴,建立空间直角坐标系C-xyz,则有A(a,0,0),B(a,a,0),A1(0,0,a), B1(0,a,a)

C1(-a,0,a),设,且

即有

所以E点坐标为

由条件易得面A1C1A的一个法向量为

设平面EA1C1的一个法向量为

可得

令y=1,则有,(9分)

,得

∴当时,二面角E-A1C1-A的大小为.(12分)

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题型:简答题
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简答题

在四棱锥中,侧面底面,,底面是直角梯形,,,,

(1)求证:平面;

(2)设为侧棱上一点,,试确定的值,使得二面角

正确答案

(1)平详见解析;(2).

试题分析:平面底面,所以平面,所以,故可以为原点建立空间直角坐标系.根据题中所给数据可得,

(1)由数量积为0,可得由此得,由此得平面.(2) 由于平面,所以平面的法向量为.由可得,所以.又.设平面的法向量为

,,取.由于二面角,所以,解此方程可得的值.

试题解析:(1)平面底面,,所以平面,

所以,以为原点建立空间直角坐标系.

,,所以,,

又由平面,可得,所以平面

(2)平面的法向量为

,,所以

设平面的法向量为,,

,,得 所以,,所以

所以,注意到,得.

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题型:简答题
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简答题

)如图所示,在三棱锥PABC中,ABBC,平面PAC⊥平面ABCPDAC于点DAD=1,CD=3,PD.

 

(1)证明:△PBC为直角三角形;

(2)求直线AP与平面PBC所成角的正弦值.

正确答案

(1)见解析(2)

(1)证明:取AC中点E,联结BE,以点E为坐标原点,以EBEC所在的直线分别为x轴,y轴建立如图所示的空间直角坐标系Exyz,则B(,0,0),C(0,2,0),P(0,-1,).

于是=(-,-1,),=(-,2,0).

因为·=(-,-1,)·(-,2,0)=0,所以

所以BPBC,所以△PBC为直角三角形.

(2)由(1)可得,A(0,-2,0).

于是=(0,1,),=(,1,-),=(0,3,-).

设平面PBC的法向量为n=(xyz),

y=1,则zx.

所以平面PBC的一个法向量为n=(,1,).

设直线AP与平面PBC所成的角为θ

则sin θ=|cos〈n〉|=

所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为.

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题型:填空题
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填空题

在空间直角坐标系中,点关于平面的对称点的坐标是             

正确答案

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题型:填空题
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填空题

已知,则方向上的投影取值范围是_____________.

正确答案

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题型:简答题
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简答题

如图,边长为1的正三角形所在平面与直角梯形所在平面垂直,且分别是线段的中点.

(1)求证:平面平面

(2)求二面角的余弦值.

正确答案

(1)详见解析;(2)

试题分析:(1)由已知中F为CD的中点,易判断四边形ABCD为平行四边形,进而AF∥BC,同时EF∥SC,再由面面平行的判定定理,即可得到答案.(II)取AB的中点O,连接SO,以O为原点,建立如图所示的空间坐标系,分别求出平面SAC与平面ACF的法向量,代入向量夹角公式,即可求出二面角S-AC-F的大小..

(1)分别是的中点,.又,所以,……2分

四边形是平行四边形.的中点,.……3分

平面平面……5分

(2)取的中点,连接,则在正中,,又平面平面平面平面平面.…6分

于是可建立如图所示的空间直角坐标系

则有

.…7分

设平面的法向量为,由

,得.……9分平面的法向量为.10分

   …11分而二面角的大小为钝角,

二面角的余弦值为

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题型:简答题
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简答题

如图,等腰梯形ABCD,AD//BC,P是平面ABCD外一点,P在平面ABCD的射影O恰在AD上,.

(1)证明:

(2)求二面角A-BP-D的余弦值.

正确答案

(1)见解析(2)

试题分析:

(1)要证明直线PA垂直BO,根据线面垂直的性质只需要证明BO垂直于PA所在的面PAD即可,首先O是点P在面ABCD上的投影,则有PO垂直于面ABCD,即有BO与PO垂直,三角形ABO的三条边已知,则利用三角形的勾股定理即可证明BO垂直于AD,即有BO垂直于面PAD内两条相交的直线,则BO垂直于面PAD,故有BO垂直于PA.

(2)根据(1)利用AD,PO,BO两两垂直,即可分别设为x,y,z轴建立三维直角坐标系,利用坐标法来求解二面角,即分别求出面ABP与面BPD的法向量,法向量的夹角即为二面角或其补角,根据观察不能发现该二面角是钝角,则利用向量内积的定义即可求出该二面角的余弦值.

试题解析:

(1)在中,

,∴.

⊥平面,∴.

平面平面,且

⊥平面.

平面,∴.   6分

(2)由题知,以为坐标原点,轴,

建立如图空间直角坐标系.

由已知,,∴.

因为等腰梯形

所以,∴

,    8分

所以

.

设平面的法向量为,则

,故,即.

设平面的法向量为

,∴,即.

设二面角的大小为,由图可知是钝角,

所以二面角的余弦值为.    12分

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题型:简答题
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简答题

如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=30°,∠ABC=90°,DAC中点,,延长AEBCF,将ABD沿BD折起,使平面ABD平面BCD,如图2所示.

(1)求证:AE⊥平面BCD

(2)求二面角A–DC–B的余弦值.

(3)在线段上是否存在点使得平面?若存在,请指明点的位置;若不存在,请说明理由.

正确答案

(1)详见解析,(2),(3)

试题分析:(1)已知条件为面面垂直,,因此可利用定理转化为线面垂直.折叠前后皆有平面为两平面的交线,由平面ABD平面BCD,可得AE⊥平面BCD.(2)求二面角,有两个方法,一是做出二面角的平面角,二是利用空间向量.本题由于有AE⊥平面BCD,可利用三垂线定理及其逆定理做出二面角的平面角,即过点E作EM垂直CD于M,连AM,则AM垂直CD,所以为二面角的平面角.利用空间向量求二面角,关键求出面的法向量,由于平面可知平面DCB的法向量为.平面的法向量可列方程组求出,再利用向量的数量积求出其夹角的余弦值.(3)探索点,从线面平行性质定理出发,利用平面得EM平行过EM平面与平面的交线.由于过EM平面的任意性,难以确定M位置.本题利用空间向量解决就比较简单,设,利用法向量与平面内任一直线垂直,可解出,从而确定M位置.

试题解析:(1)因为平面平面,交线为

又在中,平面

所以平面.                   3分

(2)由(1)结论平面可得.

由题意可知,又.

如图,以为坐标原点,分别以所在直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系

4分

不妨设,则.

由图1条件计算得,

   5分

.

平面可知平面DCB的法向量为.                 6分

设平面的法向量为,则

,则,所以.                  8分

平面DCB的法向量为

所以

所以二面角的余弦值为               9分

(3)设,其中.

由于

所以,其中             10分

所以             11分

,即             -12分

解得.              13分

所以在线段上存在点使,且.      14分

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题型:简答题
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简答题

如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=3,AA1=4,∠DAB=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,E是CC1的中点,设===

(1)用表示

(2)求AE的长?

正确答案

(1)根据向量的三角形法则得到

=++=++

(2)∵||2=(++)2

=

a

2+

b

2+

c

2+2++

=25+9+4+0+(20+12)•cos60°

=54

∴||=3

即AE的长为3

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题型:简答题
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简答题

如图,是直角梯形,∠=90°,=1,=2,又=1,∠=120°,,直线与直线所成的角为60°.

(1)求二面角的的余弦值;

(2)求点到面的距离.

正确答案

(1);(2).

试题分析:此题可用向量法来求解.(1)由题意易知,则在平面内过点于点,分别以轴,为原点建立空间直角坐标系,找出相应点的坐标,由直线与直线所成角为,求出点的坐标,从而可确定点的坐标,由平面内向量可求得平面平面的法向量,平面法向量为,根据向量的数量积公式,可求出向量夹角的余弦值,从而求出所求二面角的余弦值;(2)先求出平面的法向量,又点在平面内,可求出向量的坐标,由点到平面的向量计算公式可求得点到平面的距离.

试题解析:(1)∵

在平面内,过,建立空间直角坐标系(如图)

由题意有,设

由直线与直线所成的解为,得

,解得

,设平面的一个法向量为

,取,得,平面的法向量取为

所成的角为,则

显然,二面角的平面角为锐角,故二面角的余弦值为.   5分

(2)

设平面的一个法向量,则

,得,则点到平面的距离.     10分

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题型:简答题
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简答题

如图,四棱锥P—ABCD中,PD底面ABCD,AB//DC,ADDC,AB=AD=1,DC=2,PD=,M为棱PB的中点.

(1)证明:DM平面PBC;

(2)求二面角A—DM—C的余弦值.

正确答案

(1) (2)

试题分析:(1) 连接,取的中点,连接

要证平面,只要证即可,由题设可得是等腰的底边上的中线,所以;另一方面由又可得出 

考虑到平面  平面;问题得证.

(2)根据空间图形中已知的垂直关系,可以为坐标原点,射线正半轴,建立如图所示的直角坐标系,写出点 ,分别求出平面 的一个法向量 和平面 的一个法向量,利用向的夹公式求二面角A—DM—C的余弦值

试题解析:

证明:连接,取的中点,连接

由此知,即为直角三角形,故

平面,故

所以,平面                        2分

的中点

                                    4分

                                  5分

平面                                  6分

为坐标原点,射线正半轴,建立如图所示的直角坐标系,        7分

从而

是平面的一个法向量,则

可取                                8分

同理,设是平面的一具法向量,则

可取                                  9分

                                    2分

显然二面角的大小为钝角,所以二面角的余弦值为.        12分

4、二面角的概念与法向量的求法.

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简答题

本小题满分12分)已知,,,且,求点及向量的坐标.

正确答案

解:因为,,

所以.  …………………………………………………...3分

,则.  

=,即.     ………………………7分

解得,即.     ………………………………………………………9分

同理可得.    …………………………………………………………………11分

所以.   ………………………………………………………………….12分

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简答题

在如图所示的几何体中,四边形是等腰梯形,.在梯形中,,且⊥平面

(1)求证:

(2)若二面角,求的长.

正确答案

(1)证明:见解析;(2)的长为

试题分析:(1)在中,应用余弦定理得,从而得到

再利用⊥平面平面

⊥平面平面得到

(2)建立空间直角坐标系,利用“空间向量方法”得到,解得

试题解析:(1)证明:在中,

所以,由勾股定理知所以 .   2分

又因为 ⊥平面平面

所以 .                                           4分

又因为 所以 ⊥平面,又平面

所以 .                                           6分

(2)因为⊥平面,又由(1)知,以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系 .

,则,,,

.            8分

设平面的法向量为,则  所以

.所以.                    9分

又平面的法向量                    10分

所以, 解得 .          11分

所以的长为.                           12分

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简答题

如图,底面是边长为2的菱形,且,以为底面分别作相同的正三棱锥,且.

(1)求证:平面

(2)求平面与平面所成锐角二面角的余弦值.

正确答案

(1)证明过程见解析;(2).

试题分析:(1)作,作,易得四边形是平行四边形,所以.又,所以平面;

(2)以轴的正方向,以轴的正方向,在平面中过点作面的垂线为轴,建立空间直角坐标系求题,利用向量,求出平面和平面的法向量,则两平面的法向量的夹角即为所求角或为所求角的补角.

(1)作,作,因都是正三棱锥, 且分别为的中心,

且  .    

所以四边形是平行四边形,所以.

,所以平面

(2)如图,建立空间直角坐标系,

     

.…7分

为平面的法向量,

            

为平面的法向量,

            

                                          

设平面与平面所成锐二面角为,                    

  

所以,面与面所成锐二面角的余弦值为.          

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