- 空间向量与立体几何
- 共9778题
如图1,A,D分别是矩形A1BCD1上的点,AB=2AA1=2AD=2,DC=2DD1,把四边形A1ADD1沿AD折叠,使其与平面ABCD垂直,如图2所示,连接A1B,D1C得几何体ABA1DCD1.
(1)当点E在棱AB上移动时,证明:D1E⊥A1D;
(2)在棱AB上是否存在点E,使二面角D1ECD的平面角为?若存在,求出AE的长;若不存在,请说明理由.
正确答案
(1)见解析 (2)存在,
解:(1)证明,如图,以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Dxyz,
则D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,2,0),A1(1,0,1),D1(0,0,1).设E(1,t,0),
则=(1,t,-1),
=(-1,0,-1),
∴·
=1×(-1)+t×0+(-1)×(-1)=0,
∴D1E⊥A1D.
(2)假设存在符合条件的点E.设平面D1EC的法向量为n=(x,y,z),
由(1)知=(-1,2-t,0),
则得
令y=,则x=1-
t,z=1,
∴n=是平面D1EC的一个法向量,
显然平面ECD的一个法向量为=(0,0,1),
则cos〈n,〉=
==cos
,
解得t=2- (0≤t≤2).
故存在点E,
当AE=2-时,二面角D1ECD的平面角为
.
在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1⊥面ABC,AA1=a,A1C=CA=AB=a,AB⊥AC,D为AA1中点.
(1)求证:CD⊥面ABB1A1;
(2)在侧棱BB1上确定一点E,使得二面角E-A1C1-A的大小为.
正确答案
(1)详见解析;(2)点满足
.
试题分析:(1)由面ACC1A1⊥面ABCAB⊥面ACC1A1AB⊥CD,由D为AA1中点,AC=A1C可推出CD⊥AA1,从而得到CD⊥面ABB1A1.(2)由题意,以点C为坐标系原点,CA为x轴,过C点平行于AB的直线为y轴,CA1为z轴,建立空间直角坐标系C-xyz,求平面面A1C1A的一个法向量、平面EA1C1的一个法向量,利用向量法
求解.
(1)【证】∴面ACC1A1⊥面ABC,AB⊥AC
∴AB⊥面ACC1A1,即有AB⊥CD;
又AC=A1C,D为AA1中点,则CD⊥AA1 ∴CD⊥面ABB1A1.(6分)
(2)【解】如图所示以点C为坐标系原点,CA为x轴,过C点平行于AB的直线为y轴,CA1为z轴,建立空间直角坐标系C-xyz,则有A(a,0,0),B(a,a,0),A1(0,0,a), B1(0,a,a)
C1(-a,0,a),设,且
,
即有
所以E点坐标为
由条件易得面A1C1A的一个法向量为
设平面EA1C1的一个法向量为,
由可得
令y=1,则有,(9分)
则,得
,
∴当时,二面角E-A1C1-A的大小为
.(12分)
在四棱锥中,侧面
底面
,
,底面
是直角梯形,
,
,
,
.
(1)求证:平面
;
(2)设为侧棱
上一点,
,试确定
的值,使得二面角
为
.
正确答案
(1)平详见解析;(2).
试题分析:平面底面
,
,所以
平面
,所以
,故可以
为原点建立空间直角坐标系
.根据题中所给数据可得,
(1)由数量积为0,可得由此得,
,由此得
平面
.(2) 由于
平面
,所以平面
的法向量为
.由
,
,
可得
,所以
.又
.设平面
的法向量为
,
由,
得
,取
得
.由于二面角
为
,所以
,解此方程可得
的值.
试题解析:(1)平面底面
,
,所以
平面
,
所以,以
为原点建立空间直角坐标系
.
则
,
,所以
,
,
又由平面
,可得
,所以
平面
(2)平面的法向量为
,
,
所以
,
设平面的法向量为
,
,
,
由,
,得 所以,
,所以
,
所以,注意到
,得
.
)如图所示,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=,平面PAC⊥平面ABC,PD⊥AC于点D,AD=1,CD=3,PD=
.
(1)证明:△PBC为直角三角形;
(2)求直线AP与平面PBC所成角的正弦值.
正确答案
(1)见解析(2)
(1)证明:取AC中点E,联结BE,以点E为坐标原点,以EB,EC所在的直线分别为x轴,y轴建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,则B(,0,0),C(0,2,0),P(0,-1,
).
于是=(-
,-1,
),
=(-
,2,0).
因为·
=(-
,-1,
)·(-
,2,0)=0,所以
⊥
,
所以BP⊥BC,所以△PBC为直角三角形.
(2)由(1)可得,A(0,-2,0).
于是=(0,1,
),
=(
,1,-
),
=(0,3,-
).
设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),
则即
取y=1,则z=,x=
.
所以平面PBC的一个法向量为n=(,1,
).
设直线AP与平面PBC所成的角为θ,
则sin θ=|cos〈,n〉|=
=
=
,
所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为.
在空间直角坐标系中,点
关于
平面的对称点的坐标是
正确答案
略
已知,
,则
在
方向上的投影取值范围是_____________.
正确答案
略
如图,边长为1的正三角形所在平面与直角梯形
所在平面垂直,且
,
,
,
,
、
分别是线段
、
的中点.
(1)求证:平面平面
;
(2)求二面角的余弦值.
正确答案
(1)详见解析;(2).
试题分析:(1)由已知中F为CD的中点,易判断四边形ABCD为平行四边形,进而AF∥BC,同时EF∥SC,再由面面平行的判定定理,即可得到答案.(II)取AB的中点O,连接SO,以O为原点,建立如图所示的空间坐标系,分别求出平面SAC与平面ACF的法向量,代入向量夹角公式,即可求出二面角S-AC-F的大小..
(1)分别是
的中点,
.又
,所以
.
,……2分
四边形
是平行四边形.
.
是
的中点,
.……3分
又,
,
平面
平面
……5分
(2)取的中点
,连接
,则在正
中,
,又
平面
平面
,
平面
平面
,
平面
.…6分
于是可建立如图所示的空间直角坐标系.
则有,
,
,
,
,
.…7分
设平面的法向量为
,由
.
取,得
.……9分平面
的法向量为
.10分
…11分而二面角
的大小为钝角,
二面角
的余弦值为
.
如图,等腰梯形ABCD,AD//BC,P是平面ABCD外一点,P在平面ABCD的射影O恰在AD上,.
(1)证明:;
(2)求二面角A-BP-D的余弦值.
正确答案
(1)见解析(2)
试题分析:
(1)要证明直线PA垂直BO,根据线面垂直的性质只需要证明BO垂直于PA所在的面PAD即可,首先O是点P在面ABCD上的投影,则有PO垂直于面ABCD,即有BO与PO垂直,三角形ABO的三条边已知,则利用三角形的勾股定理即可证明BO垂直于AD,即有BO垂直于面PAD内两条相交的直线,则BO垂直于面PAD,故有BO垂直于PA.
(2)根据(1)利用AD,PO,BO两两垂直,即可分别设为x,y,z轴建立三维直角坐标系,利用坐标法来求解二面角,即分别求出面ABP与面BPD的法向量,法向量的夹角即为二面角或其补角,根据观察不能发现该二面角是钝角,则利用向量内积的定义即可求出该二面角的余弦值.
试题解析:
(1)在中,
,
则,∴
⊥
.
∵⊥平面
,∴
⊥
.
又平面
,
平面
,且
,
∴⊥平面
.
又平面
,∴
⊥
. 6分
(2)由题知,以为坐标原点,
为
轴,
建立如图空间直角坐标系.
由已知,,∴
.
因为等腰梯形,
,
,
所以,∴
,
,
,
, 8分
所以,
,
,
.
设平面的法向量为
,则
,
令,故
,即
.
设平面的法向量为
,
则,
令,∴
,即
.
故,
设二面角的大小为
,由图可知
是钝角,
所以二面角的余弦值为
. 12分
如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=30°,∠ABC=90°,D为AC中点,于
,延长AE交BC于F,将
ABD沿BD折起,使平面ABD平面BCD,如图2所示.
(1)求证:AE⊥平面BCD;
(2)求二面角A–DC–B的余弦值.
(3)在线段上是否存在点
使得
平面
?若存在,请指明点
的位置;若不存在,请说明理由.
正确答案
(1)详见解析,(2),(3)
试题分析:(1)已知条件为面面垂直,,因此可利用定理转化为线面垂直.折叠前后皆有而
平面
,
为两平面的交线,由平面ABD
平面BCD,可得AE⊥平面BCD.(2)求二面角,有两个方法,一是做出二面角的平面角,二是利用空间向量.本题由于有AE⊥平面BCD,可利用三垂线定理及其逆定理做出二面角的平面角,即过点E作EM垂直CD于M,连AM,则AM垂直CD,所以
为二面角的平面角.利用空间向量求二面角,关键求出面的法向量,由于
平面
可知平面DCB的法向量为
.平面
的法向量可列方程组求出,再利用向量的数量积求出其夹角的余弦值.(3)探索点
,从线面平行性质定理出发,利用
平面
得EM平行过EM平面与平面
的交线.由于过EM平面的任意性,难以确定M位置.本题利用空间向量解决就比较简单,设
,利用法向量与平面内任一直线垂直,可解出
,从而确定M位置.
试题解析:(1)因为平面平面
,交线为
,
又在中,
于
,
平面
所以平面
. 3分
(2)由(1)结论平面
可得
.
由题意可知,又
.
如图,以为坐标原点,分别以
所在直线为
轴,
轴,
轴,建立空间直角坐标系
4分
不妨设,则
.
由图1条件计算得,,
,
则 5分
.
由平面
可知平面DCB的法向量为
. 6分
设平面的法向量为
,则
即
令,则
,所以
. 8分
平面DCB的法向量为
所以,
所以二面角的余弦值为
9分
(3)设,其中
.
由于,
所以,其中
10分
所以 11分
由,即
-12分
解得. 13分
所以在线段上存在点
使
,且
. 14分
如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=3,AA1=4,∠DAB=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,E是CC1的中点,设=
,
=
,
=
.
(1)用,
,
表示
;
(2)求AE的长?
正确答案
(1)根据向量的三角形法则得到
=
+
+
=
+
+
(2)∵||2=(
+
+
)2
=
a
2+
b
2+
c
2+2•
+
•
+
•
=25+9+4+0+(20+12)•cos60°
=54
∴||=3
,
即AE的长为3.
如图,是直角梯形,∠
=90°,
∥
,
=1,
=2,又
=1,∠
=120°,
⊥
,直线
与直线
所成的角为60°.
(1)求二面角的的余弦值;
(2)求点到面
的距离.
正确答案
(1);(2)
.
试题分析:此题可用向量法来求解.(1)由题意易知,则在平面
内过点
作
交
于点
,分别以
、
、
为
轴,
为原点建立空间直角坐标系
,找出相应点的坐标,由直线
与直线
所成角为
,求出点
的坐标,从而可确定点
的坐标,由平面
内向量
、
可求得平面平面
的法向量
,平面
法向量为
,根据向量的数量积公式,可求出向量
与
夹角的余弦值,从而求出所求二面角的余弦值;(2)先求出平面
的法向量
,又点
在平面
内,可求出向量
的坐标,由点到平面的向量计算公式
可求得点
到平面
的距离.
试题解析:(1)∵∴
.
在平面内,过
作
,建立空间直角坐标系
(如图)
由题意有,设
,
则
由直线与直线
所成的解为
,得
,
即,解得
∴,设平面
的一个法向量为
,
则,取
,得
,平面
的法向量取为
设与
所成的角为
,则
.
显然,二面角的平面角为锐角,故二面角
的余弦值为
. 5分
(2),
,
,
,
.
设平面的一个法向量
,则
,
取,得
,则点
到平面
的距离
. 10分
如图,四棱锥P—ABCD中,PD底面ABCD,AB//DC,AD
DC,AB=AD=1,DC=2,PD=
,M为棱PB的中点.
(1)证明:DM平面PBC;
(2)求二面角A—DM—C的余弦值.
正确答案
(1) (2)
试题分析:(1) 连接,取
的中点
,连接
,
要证平面
,只要证
,
即可,由题设可得
是等腰
的底边上的中线,所以
;另一方面由
又可得出
考虑到平面
平面
,
;问题得证.
(2)根据空间图形中已知的垂直关系,可以为坐标原点,射线
为
正半轴,建立如图所示的直角坐标系
,写出点
,分别求出平面
的一个法向量
和平面
的一个法向量
,利用向的夹公式求二面角A—DM—C的余弦值
试题解析:
证明:连接,取
的中点
,连接
,
由此知,即
为直角三角形,故
又平面
,故
所以,平面
,
2分
又,
为
的中点
4分
5分
平面
6分
以为坐标原点,射线
为
正半轴,建立如图所示的直角坐标系
, 7分
则从而
设是平面
的一个法向量,则
可取
8分
同理,设是平面
的一具法向量,则
可取
9分
2分
显然二面角的大小为钝角,所以二面角
的余弦值为
. 12分
4、二面角的概念与法向量的求法.
本小题满分12分)已知,
,
,且
,
,求点
及向量
的坐标.
正确答案
解:因为,
,
,
所以,
. …………………………………………………...3分
设,则
.
由得
=
,即
. ………………………7分
解得,即
. ………………………………………………………9分
同理可得. …………………………………………………………………11分
所以. ………………………………………………………………….12分
略
在如图所示的几何体中,四边形是等腰梯形,
∥
,
,
.在梯形
中,
∥
,且
,
⊥平面
.
(1)求证:;
(2)若二面角为
,求
的长.
正确答案
(1)证明:见解析;(2)的长为
.
试题分析:(1)在中,应用余弦定理得
,从而得到
.
再利用⊥平面
,
平面
得.
由⊥平面
,
平面
得到
.
(2)建立空间直角坐标系,利用“空间向量方法”得到,解得
.
试题解析:(1)证明:在中,
所以,由勾股定理知
所以
. 2分
又因为 ⊥平面
,
平面
所以 . 4分
又因为 所以
⊥平面
,又
平面
所以 . 6分
(2)因为⊥平面
,又由(1)知
,以
为原点,建立如图所示的空间直角坐标系
.
设,则
,
,
,
,
,
. 8分
设平面的法向量为
,则
所以
令.所以
. 9分
又平面的法向量
10分
所以, 解得
. 11分
所以的长为
. 12分
如图,底面是边长为2的菱形,且
,以
与
为底面分别作相同的正三棱锥
与
,且
.
(1)求证:平面
;
(2)求平面与平面
所成锐角二面角的余弦值.
正确答案
(1)证明过程见解析;(2).
试题分析:(1)作面
于
,作
面
于
,易得四边形
是平行四边形,所以
.又
面
,
面
,所以
平面
;
(2)以为
轴的正方向,以
为
轴的正方向,在平面
中过
点作面
的垂线为
轴,建立空间直角坐标系求题,利用向量,求出平面
和平面
的法向量,则两平面的法向量的夹角即为所求角或为所求角的补角.
(1)作面
于
,作
面
于
,因
与
都是正三棱锥, 且
、
分别为
与
的中心,
且
.
所以四边形是平行四边形,所以
.
又面
,
面
,所以
平面
(2)如图,建立空间直角坐标系,、
、
、
、
.
、
、
、
.…7分
设为平面
的法向量,
设为平面
的法向量,
设平面与平面
所成锐二面角为
,
所以,面与面
所成锐二面角的余弦值为
.
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