空间向量与立体几何_章节学习

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题型：简答题

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简答题

设ABCD-A1B1C1D1是平行六面体，M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的点，且BN=3NC1，设，试求a，b，c的值．

正确答案

解：∵

=

∴a=，b=，c=．

解析

解：∵

=

∴a=，b=，c=．

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题型：填空题

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填空题

若正方体P1P2P3P4-Q1Q2Q3Q4的棱长为1，集合M={x|x=•，S，T∈{P，Q}，i，j∈{1，2，3，4}}，则对于下列命题：

①当=时，x=1；

②当=时，x=-1；

③当x=1时，（i，j）有8种不同取值；

④当x=1时，（i，j）有16种不同取值；

⑤M={-1，0，1}．

其中正确的结论序号为______．（填上所有正确结论的序号）

正确答案

①④⑤

解析

解：根据题意，建立空间直角坐标系，如图所示；

①当=时，x=•=（0，0，1）•（xi，xj，1）=1，∴①正确；

②当=时，由①知，x=1，∴②错误；

③当x=1时，i=1、2、3、4，j=1、2、3、4，（i，j）有4×4=16种不同的取值，∴③错误；

④当x=1时，由③知，（i，j）有16种不同取值，∴④正确；

⑤当=时，x=•=1，

当=时，x=•=（0，0，1）•（xi，xj，0）=0，

当=时，x=•=（0，0，1）•（xi，xj，-1）=-1，

∴M={-1，0，1}，⑤正确．

综上，正确的结论是①④⑤．

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题型：单选题

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单选题

{，，}=是空间向量的一个基底，设=+，=+，=+，给出下列向量组：①{，，，②{，}，③{，，}，④{，，}，其中可以作为空间向量基底的向量组有（　　）组．

A1

B2

C3

D4

正确答案

C

解析

解：∵{，，}=是空间向量的一个基底，设=+，=+，=+，

①{，，}，不可以作为基底，因为=+，

②{，}，可以作为空间向量的基底，因为三向量不共面．

③{，，}，此向量组也可以作为空间向量的一组基底，因为其中任意一个向量都不能用另两个向量的线性组合表示出来，三向量不共面；

④{，，}，此向量组也可以作为空间向量的一组基底，因为其中任意一个向量都不能用另两个向量的线性组合表示出来，三向量不共面．

综上②③④是正确的

故选C

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题型：单选题

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单选题

已知{}是空间向量的一个基底，则可以与向量，构成基底的向量是（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：∵，，，∴A．B．C中的向量都不能与向量，构成基底．

故选D．

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题型：单选题

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单选题

在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设，则x+y+z等于（　　）

A1

B

C

D

正确答案

D

解析

解：∵在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，，

又∵=++，∴x=1，2y=1，3z=1，

∴x=1，y=，z=，∴x+y+z=1++=，

故选 D．

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题型：填空题

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填空题

已知四面体ABCD的各面均是边长为1的正三角形，设E，G分别为△BCD，△ABC的中心，分别以，，方向上的单位向量构成一个基底，，，则向量的坐标是______．

正确答案

（，，）

解析

解：根据题意，画出图形，如图所示；

正四面体ABCD的顶点D在底面ABC你的射影是底面△ABC的中心G，以点G为坐标原点，以GA为x轴，GD为z轴，以过点G且平行于CB的限直线为y轴，建立空间直角坐标系，且AB=1，

F是BC的中点，

∴AF=，∴GA=×=，∴GF=×=；

∴GC=GA=，GD==；

∴G（0，0，0），A（，0，0），B（-，，0），C（-，-，0），

D（0，0，），E（-，0，），F（-，0，0）；

∴=（-，，0），=（-，-，0），

=（0，0，），=（-，0，）；

设=x+y+z，x、y、z∈R；

则（-，0，）=（-x-y，x-y，z），

即，

解得x=y=，z=；

∴=++；

又=，=，=，

∴=+×+×=++；

∴向量的坐标是（，，）．

故答案为：（，，）．

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题型：单选题

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单选题

（理）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在A1C1上，且，则（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：由题意，，

故选D．

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题型：填空题

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填空题

在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，若，则x+y+z等于______．

正确答案

解析

解：根据向量的加法法则可得，

∵

∴x=1，2y=1，-3z=1

∴

∴x+y+z==

故答案为：

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题型：填空题

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填空题

（理科选做）在四面体O-ABC中，点P为棱BC的中点．设=，=，=，那么向量用基底{，，}可表示为______．

正确答案

解析

解：∵点P为棱BC的中点，∴．

∴===，

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

设命题p：{，，}为空间的一个基底，命题q：、、是三个非零向量，则命题p是q的______条件．

正确答案

充分不必要

解析

解：{，，}为空间的一个基底，则，，不共面，所以，，是三个非零向量，

但反之不成立，故p是q的充分不必要条件．

故答案为：充分不必要．

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题型：单选题

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单选题

空间中，与向量同向共线的单位向量为（　　）

A

B或

C

D或

正确答案

C

解析

解：∵，

∴与同向共线的单位向量向量，

故选：C．

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题型：单选题

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单选题

已知正方体ABCD-A′B′C′D′中，点F是侧面CDD′C′的中心，若=+x+y，则x-y等于（　　）

A0

B1

C

D-

正确答案

A

解析

解：由向量的运算法则可得

=+=+（+）

=+（+）

=+

又=+x+y，

故x=，y=，所以x-y=0

故选A

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题型：填空题

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填空题

已知向量=（-1，2，2），=（1，1，1），则向量在向量方向上的投影为______．

正确答案

解析

解：∵•=（1，1，1）•（-1，2，2）=×3=，

则在向量上的投影为．

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

已知非零向量、、、满足：=αZ+βZ+γZ（α，β，γ∈R），B、C、D为不共线三点，给出下列命题：

①若α=，β=，γ=-1，则A、B、C、D四点在同一平面上；

②若α=β=γ=1，||=||=||=1，＜，＞=＜，＞=，＜，＞=，则||=2；

③已知正项等差数列{an}（n∈N*Z），若α=a2，β=a2009，γ=0，且A、B、C三点共线，但O点不在直线BC上，则的最小值为10；

④若α=，β=-Z，γ=0，则A、B、C三点共线且A分所成的比λ一定为-4

其中你认为正确的所有命题的序号是______．

正确答案

①②

解析

解：①若α+β+γ=1，则A、B、C、D四点在同一平面上；①正确；

②=α+β+γ，两边平方结合条件得，

=α2=1+1+1+1=4，

则||=2．故②对；

③若α=a2，β=a2009，γ=0，且A、B、C三点共线，

∴a2+a2009=1，∴a3+a2008=1，则=（）（a3+a2008）≥5+4=9．③错．

④根据α=，β=-，γ=0，得，

=-，∴-=-，

∴=，则A、B、C三点共线，

且A分所成的比λ为-．故④错

故答案为①②．

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题型：单选题

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单选题

已知是空间的一个基底，下列四组向量中，能作为空间一个基底的是（　　）

①

②

③

④．

A①②

B②④

C③④

D①③

正确答案

D

解析

解：①假设存在非0实数a，b，c使得=，化为，

∵是空间的一个基底，

∴，解得a=b=c=0，

故假设不成立，因此，，可以作为空间的一个基底．

②∵2，，一定是共面向量，因此不能作为空间向量的一个基底；

③假设存在实数a，b，c使得++=，化为，+=，

∵是空间的一个基底，

∴，解得a=b=c=0，故假设不成立．

因此可以作为空间的一个基底．

④，，一定是共面向量，因此不能作为空间向量的一个基底．

综上可知：只有①③能作为空间一个基底．

故选：D．

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