热门试卷

解：在长方体体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点；

（1）--=-（+）

=-

=-

=+

=；

（2）∵E是棱DD1上的点，且=，

∴=+

=+

=（+）+

=++

=-++，

∴=-=--；

又=x+y+z，

∴x=，y=-，z=-．

(1)证明见解析；(2) 二面角D－A1A－C的平面角的余弦值是．(3)存在，点P在C1C的延长线上且使C1C＝CP．

试题分析：(1)连接BD交AC于O，则BD⊥AC，连接A1O,可证A1O⊥底面ABCD，则可建立如图所示的空间直角坐标系，分别写出的坐标，进而得，坐标，由坐标运算可得，即两向量垂直，得两线垂直；(2)分别求出两平面的一个法向量，，利用，可得二面角的平面角的余弦值；(3)令存在，在直线CC1 上设，P(x，y，z)，得＝(，1＋λ，λ)，取平面DA1C一法向量，知·＝0，得的值，P点可求．

解：连接BD交AC于O，则BD⊥AC，连接A1O．

在△AA1O中，AA1＝2，AO＝1，∠A1AO＝60°，

∴A1O2＝＋AO2－2AA1·AOcos 60°＝3，

∴AO2＋A1O2＝A1A2，∴A1O⊥AO，

由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，∴A1O⊥底面ABCD， 2分

∴以OB、OC、OA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，D(，0,0)，A1(0,0，)．

(1)由于＝(，0,0)，＝(0,1，)，则·＝0×()＋1×0＋×0＝0，

所以:BD⊥AA1．      4分

(2)由于OB⊥平面AA1C1C，

∴平面AA1C1C的法向量＝(1,0,0)，设⊥平面AA1D，则

设＝(x，y，z)，

得到取，  6分

∴，

∴二面角D－A1A－C的平面角的余弦值是．  8分

(3)假设在直线CC1上存在点P，使BP∥平面DA1C1，

设，P(x，y，z)，则(x，y－1，z)＝λ(0,1，)，  9分

得P(0,1＋λ，λ)，＝(，1＋λ，λ)．

设⊥平面DA1C1，则．

设＝(x3，y3，z3)，得到．

不妨取＝(1,0，－1)．      10分

又∵∥平面DA1C1，则·＝0，即－λ＝0，得λ＝－1，

即点P在C1C的延长线上且使C1C＝CP      12分

（1）见解析（2）

(1)连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．

又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.

(2)由AC＝CB＝AB得，AC⊥BC.以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.设CA＝2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，

＝(1,1,0)，＝(0,2,1)，＝(2,0,2)．

设n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，

则即可取n＝(1，－1，－1)．

同理，设m＝(x2，y2，z2)是平面A1CE的法向量，

则即可取m＝(2,1，－2)．

从而cos〈n，m〉＝＝，故sin〈n，m〉＝

即二面角D－A1C－E的正弦值为

(1)参考解析；(2) ；(3)

试题分析：(1)由正三棱柱，可得平面ACB⊥平面.又DB⊥AC.所以如图建立空间直角坐标系.分别点A,E,B,D, 的坐标，得出相应的向量.即可得到向量AE与向量BD，向量的数量积为零.即可得直线平面.

(2)由平面,平面分别求出这两个平面的法向量，根据法向量的夹角得到二面角的余弦值（根据图形取锐角）.

(3)点到平面的距离，转化为直线与法向量的关系，再通过解三角形的知识即可得点到平面的距离.本小题关键是应用解三角形的知识.

试题解析：（1）证明：建立如图所示，

  ∵ 

∴     即AE⊥A1D，  AE⊥BD

∴AE⊥面A1BD

（2）由 ∴取

设面AA1B的法向量为  ，

由图可知二面角D—BA1—A的余弦值为  

（3），平面A1BD的法向量取

则B1到平面A1BD的距离d= 

（1）（2）（3） 

试题分析：（1）因为平面，所以是 在平面 内的射影，要证 ，只要证，连结，由题设易知三角形为正三角形，而是其边 上的中线，所以.

（2）由（1）知， ,而且 ，可以发现为二面角的平面角，再利用直角姑角形求其大小；

（3）取 中点 ，连结易证 ， 与 所成的角就是 与 的成的角；先利用勾股定理求出,再用余弦定理求解.

试题解析：解答一：（1）在菱形中，连接则是等边三角形。

点是边的中点

平面

是斜线在底面内的射影

（2）

菱形中,

又平面,是在平面内的射影

为二面角的平面角

在菱形中,，由（1）知，等边三角形

点是边的中点，与互相平分

点是的重心

又在等边三角形中，

所以在中，

二面角的大小为.

(3)取中点，连结，

则

与所成角与所成角

连结

平面,、平面

在中,

在中,

在中,

由（2）可知，

设与所成的角为

则

所以异面直线、所成角的余弦值为

解法二：（1）同解法一；

（2）过点作平行线交于,以点为坐标原点,建立如图的坐标系

设平面的一个法向量为

则,即

不妨设

二面角的大小为

（3）由已知，可得点

即异面直线所成角的余弦值为

（1）详见解析；（2）

试题分析：（1）要证明直线和直线垂直，往往利用直线和平面垂直的性质，先证明线面垂直，进而证明直线和直线垂直．本题可先证明平面，因平面,所以,故只需证明，可放在中利用平面几何的知识证明；（2）以以为原点,分别以射线为轴的正半轴,建立空间直角坐标系.分别表示相关点的坐标，通过二面角的大小为，确定点的坐标，再求直线的方向向量和面的法向量的夹角余弦，其绝对值即所求与平面所成角的正弦值．

（1）如图,设为的中点,连结,

则,所以四边形为平行四边形,

故,又,

所以,故,

又因为平面,所以,

且,所以平面,故有                          5分

（2）如图,以为原点,分别以射线

为轴的正半轴,建立空间直角坐标系.

则,

设,易得,

设平面的一个法向量为,则,

令得,即.

又平面的一个法向量为,

由题知,解得,

即,而是平面的一个法向量,

设平面与平面所成的角为,则.

故直线与平面所成的角的正弦值为.                          12分