- 空间向量与立体几何
- 共9778题
已知向量a＝(m，n)，b＝(p，q)，定义a⊗b＝mn－pq.给出下列四个结论：①a⊗a＝0；②a⊗b＝b⊗a；③(a＋b)⊗a＝a⊗a＋b⊗a；④(a⊗b)2＋(a·b)2＝(m2＋q2)·(n2＋p2)．
其中正确的结论是________．(写出所有正确结论的序号)
正确答案
①④
对于①，a⊗a＝mn－mn＝0，所以①正确；对于②，a⊗b＝mn－pq，b⊗a＝pq－mn，故②不一定正确；对于③，(a＋b)⊗a＝(m＋p)(n＋q)－mn，a⊗a＋b⊗a＝0＋pq－mn，所以③不一定正确；对于④，(a⊗b)2＋(a·b)2＝(mn－pq)2＋(mp＋nq)2＝(m2＋q2)·(n2＋p2)，故④正确．
已知
正确答案
如图，已知平行六面体
（I）若
（II）若平行六面体
正确答案
见解析
已知向量
正确答案
本题考查向量的平行条件
由向量
所以
评注：若空间两个向量互相平行，则其坐标对应成比例.
空间坐标系中，给定两点A
正确答案
x＋4y+z=3
设
如图：已知三棱锥
(1)证明：
(2)求面
(3)在线段
正确答案
（1）如图建立空间直角坐标系：则
（2）面
设面
（3）若假设在线段
略
如右图所示，ABCD－A1B1C1D1是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点．
(1)求证：BD1∥平面C1DE；
(2)求三棱锥D－D1BC的体积
正确答案
(1)证明：连接D1C交DC1于F，连结EF.
∵ABCD—A1B1C1D1为正四棱柱，
∴四边形DCC1D1为矩形，
∴F为D1C中点．
在△CD1B中，∵E为BC中点，∴EF∥D1B.
又∵D1B⊄面C1DE，EF⊂面C1DE，∴BD1∥平面C1DE.
(2)连结BD，VD－D1BC＝VD1－DBC，∵AC′是正四棱柱，
∴D1D⊥面DBC.
∵DC＝BC＝2，∴S△BCD＝×2×2＝2.
VD1－DBC＝·S△BCD·D1D＝×2×1＝.
∴三棱锥D－D1BC的体积为.
略
如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点E为AA1的中点，在对角面BB1D1D上取一点M，使AM＋ME最小，其最小值为_____
正确答案
a
略
在空间直角坐标系中，点
正确答案
略
在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（1，—3，1），点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是 。
正确答案
（0，—1，0）
试题分析：设
点评：本题考查空间两点间的距离公式，空间两点的距离公式和平面中的两点距离公式相比较记忆，利于知识的系统化，属基础题．
已知平面向量
正确答案
依题意可得
若空间三点
正确答案
p=3,q=2
即
已知向量
（1）若
（2）已知
正确答案
（1）
（1）
=
（2）
=
由
当
已知
正确答案
略
如图，在四棱锥
（Ⅰ）证明：
（Ⅱ）证明：
（Ⅲ）求二面角
正确答案
（Ⅰ）证明：在四棱锥
而
（Ⅱ）证明：由
又
（Ⅲ）解法一：过点
可得
在
则
在
(I)证明：
(II)分别证明：
(III)可以利用空间向量的知识直接求，也可以直接根据三垂线定理作出二面角的平面角解三角形即可
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