热门试卷

（1）利用线线平行证明线面平行；（2）

试题分析：（1） 证明：连接，

因为，,所以∥,

因为面，面，所以∥面.

（2）作，分别令为

轴，轴，轴,建立坐标系如图

因为，，所以，、

所以，，，，

设面的法向量为,所以，

化简得，令，则.

设，则

设直线与面所成角为，则

所以，则直线与面所成角的正弦值为 .

点评：（1）线面关系的证明主要是应用线面平行与垂直的判定定理或性质，具体问题中要是能够根据题意适当做辅助线；（2）空间中角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的

（1）见解析     (2) .      

(1)本小题可以取CD的中点O，连接OF，AO，证明即可.

(2)因为AC=CD，取AD中点H，连CH，因为平面，知CH面ABED，

所以四棱锥C-ABED的高确定

（1）取CD的中点O，连接AO、OF，则OF//DE，  2分

AC=AD，AOCD   DE平面ACD DECD     

OFCD，又      CD平面AOF         

AF平面AOF      AFCD．           8分

(2) 取AD中点H，连CH 知CH面ABED  CH＝    10分

.        12分

（1）

（2）证明见解析。

以为原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.

（1）依题意得出

∴﹤﹥=

（2）证明：依题意将

面与面所成二面角的正切值为

建立如图所示的空间直角坐标系，

则．

延长交轴于点，易得，

作于点，连结，

则即为面与面所成二面角的平面角．

又由于且，得，

那么，，

从而，

因此．

故面与面所成二面角的正切值为．

解：（1）证明略 （2）

略

（1）见解析；（2）；（3）.

（1）通过面面垂直找到与底面垂直的线SO，然后建立空间直角坐标系，利用向量法证明两条直线垂直；（2）利用向量法把直线与平面所成的角转化为已知直线向量与平面法向量的夹角，利用数量积知识求解夹角即可；（3）先求出两个平面的法向量，然后把二面角的大小问题转化为求两法向量的夹角问题。

证明：（1）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平

面． 因为，所以．

又，为等腰直角三角形，．如图，以为坐标原点，

为轴正向，建立直角坐标系 

，，，，，

，

，…所以．………………………4分

（2）取中点，，

连结，取中点，连结，．

，，．

，，

与平面内两条相交直线，垂直．

所以平面，与的夹角记为，与平面所成的角记为，则与互余．，．

，所以 ，……………8分

（3）由上知为平面SAB的法向量，。易得

,

同理可求得平面SDA的一个法向量为 ………10分

由题知所求二面角为钝二面角，故二面角D-SA-B的大小为。………12分

（1）（2）证明见解析（3）．

（1），

，同理．

是平面的法向量．

（2）设平行四边形的面积为，与的夹角为，

则．

结论成立．

（3）设点到平面的距离为，与平面所成的角为，

则，

又，

．

分别为的中点时，

建立如图所示的空间直角坐标系，设，

得，．

那么，

从而，，

由，

即．

故分别为的中点时，．

Ⅰ）平面、平面、平面.        ……3分（每对1个给1分）（Ⅱ）依题意，在正三棱柱中，，，从而.   …5分，

所以正三棱柱的体积.  ……7分．

（Ⅲ）连接，设，连接，

因为是正三棱柱的侧面，所以是矩形，是的中点，

所以是的中位线，.          ……………10分

因为，，所以.  

略

（1）见解析（2）

本题考查异面直线垂直的证明、点到平面的距离．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．

（1）在△ACD中，由题设条件推导出CD⊥CA，由ABCD是平行四边形，知CA⊥AB，由直线垂直于平面的性质得到AC⊥BF．

（2）求出向量AD和平面FBD的法向量，用向量法能够求出点A到平面FBD的距离．

解法1：由得,故AD2=AC2+CD2，,,所以CD⊥CA

以CD为x轴,CA为y轴,以CE为z轴建立空间坐标系，  

（1）C(0,0,0),D(1,0,0),A(0,,0),F(0, ,),B(-1,,0),

,, ,

（2）,

由,可得,

点A到平面FBD的距离为d,

解法2 ：（1）由得,故BC2=AC2+AB2，,,所以AC⊥AB 

因为ACEF是矩形，AC⊥AF，所以AC⊥平面ABF,故AC⊥BF

（2）由，得

（Ⅰ） 建立如图所示空间直角坐标系．

设，

则，，

于是，，，

则，

所以．………………6分

（Ⅱ）若，则，，

设平面的法向量为，

由，得：，令，则，

于是，而

设与平面所成角为，所以，

所以与平面所成角为．

略

（1） ； （2）见解析；（3）见解析。

试题分析：(1)因为平面ABCD,所以为与平面ABCD所成角,

然后解三角形求出此角即可.

（2）证明面面平行根据判定定理只须证明平面平面A B1D1内两条相交直线和分别平行于平面EFG即可.在证明线面平行时又转化为证明线线平行.

(3)易证：BD平面AA1C，再证明EF//BD，因而可证出平面AA1C⊥面EFG.

（1）∵平面ABCD=C，在正方体ABCD-A1B1C1D1

平面ABCD

∴AC为在平面ABCD的射影

∴为与平面ABCD所成角……….2分

正方体的棱长为

∴AC=，=

                  ………..4分

（2）在正方体ABCD-A1B1C1D1

连接BD，∥，=

 为平行四边形

∴∥∵E，F分别为BC，CD的中点

∴EF∥BD∴EF∥…………3分

∵EF平面GEF，平面GEF

∴∥平面GEF              …………7分

同理∥平面GEF∵=

∴平面A B1D1∥平面EFG        ……………9分

（3）在正方体ABCD-A1B1C1D1∴  平面ABCD

∵EF平面ABCD

∴ EF             …………10分

∵ABCD为正方形

∴ACBD

∵EF∥BD

∴AC EF             ………..11分

∴EF平面AA1C

∵EF平面EFG

∴平面AA1C⊥面EFG        …………….12分.

点评：斜线与平面所成的角就是斜线与它在这个平面内的射影所成的角，因而关键是找到它在这个平面内的射影.面面垂直（平行）证明要转化为证明线面垂直（平行）再转化为线线垂直（平行）.