数列与其它知识的综合问题
共8题

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数列与其它知识的综合问题
共8题

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题型：简答题

简答题 · 18 分

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分

若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质.

(1) 若具有性质. 且, , , , ，求；

(2) 若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，，判断是否具有性质，并说明理由；

(3) 设是无穷数列，已知，求证：“对任意，都具有性质”的充要条件为“是常数列”.

正确答案

(1)

∴

(2)设的公差为，的公差为，则

∴

∵,

而,

但

故不具有性质

(3) 充分性：若为常数列，设

则

若存在使得，

则,

故具有性质

必要性：若对任意，具有性质

则

设函数,

由图像可得，对任意的，二者图像必有一个交点

∴一定能找到一个，使得

∴

故

∴是常数列

知识点

等差数列的性质及应用等比数列的性质及应用等差数列与等比数列的综合数列与其它知识的综合问题

题型：填空题

填空题 · 15 分

设数列满足，

（Ⅰ）求证：

（Ⅱ）若，，证明：，.

正确答案

（I）由得，故

，，

所以

，

因此

．

（II）任取，由（I）知，对于任意，

，

故

．

从而对于任意，均有

．

由的任意性得． ①

否则，存在，有，取正整数且，则

，

与①式矛盾．

综上，对于任意，均有．

知识点

数列与不等式的综合数列与其它知识的综合问题

题型：简答题

简答题 · 4 分

11. 无穷数列由个不同的数组成，为的前项和，若对任意，，则的最大

值为___________

正确答案

知识点

数列的极限数列与其它知识的综合问题

题型：填空题

填空题 · 5 分

15．已知数列满足，则的最小值为．

正确答案

解析

，

所以，设，

则在上单调递增，在上单调递减，

因为，所以当或时，有最小值．

又因为，所以的最小值为.

考查方向

本题主要考查由递推求通项，以及数列的最值问题.

解题思路

1.先由求出；2. 求的最小值；

易错点

本题易在求通项用累加法时出现错误.

知识点

由递推关系式求数列的通项公式数列与其它知识的综合问题

题型：填空题

填空题 · 5 分

11. 对于数列满足：，（）,其前项和为.记满足条件的所有数列中，的最大值为, 最小值为,则 .

正确答案

解析

由，得，，所以，，所以，。。。要使得的最小值为只需，所以数列为等差数列，，使得的最大值为只需，所以数列为等比列，，所以使得的最大值为只需，所以数列为等比列，。

考查方向

本题主要考查等差数列、等比数列的定义，前n项和的求法等知识，意在考查考生理解题意，转化与化归的能力。

解题思路

1.先根据题中给出的条件求几项，后发现规律：若要使得的最小则数列为等差数列，使得的最大值则数列为等比数列；

2.利用等差数列和等比数列的求和公式求出a，b后做差。

易错点

1.无法理解题中给出的条件；2.不会将题中条件转化到等差数列、等比数列的定义解决问题。

知识点

由递推关系式求数列的通项公式数列与其它知识的综合问题

题型：单选题

单选题 · 5 分

10．如果数列中任意连续三项奇数项与连续三项偶数项均能构成一个三角形的边长，则称为“亚三角形”数列；对于“亚三角形”数列，如果函数使得仍为一个“亚三角形”数列，则称是数列的一个“保亚三角形函数”（）.记数列的前项和为，，且，若是数列的“保亚三角形函数”，则的项数的最大值为（）

（参考数据：，）

正确答案

解析

由，得，两式作差得，所以. 又，且，所以

，解得，所以，则数列是等比数列，所以，由此可知，数列是递减数列. 因为.

所以数列是“亚三角形”数列，因为函数是增函数，数列是递减数列，所以是减函数，由，得，整理，得 .解得，所以数列的项数的最大值为33.

考查方向

本题主要考查了,在近几年的各省高考题中，是高频考点，特别是向量的有关计算。

解题思路

先利用条件求出数列的通项公式，证明其满足“亚三角形”数列，然后利用对数型复合函数的单调性得到是单调递减函数，再由，求解对数不等式得到答案。

易错点

不会利用向量加法的几何意义运算或进行向量的数量积运算时，夹角出错，

知识点

数列与其它知识的综合问题

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知复数，其中，，，是虚数单位，且，。

（1）求数列，的通项公式；

（2）求和：①；②。

正确答案

见解析

解析

解析：（1），，。

由得，………………3分

数列是以1为首项公比为3的等比数列，数列是以1为首项公差为2的等差数列，，，……………………6分

（2）①由（1）知，,数列是以为首项，公比为的等比数列。，………………9分

②当，时，

当，时，

又也满足上式

………14分

知识点

数列与其它知识的综合问题

题型：简答题

简答题 · 13 分

若数列：（）满足（），则称为数列，记。

（1）写出一个满足，且的数列；

（2）若，，证明：数列是递增数列的充要条件是；

（3）对任意给定的整数（），是否存在首项为0的数列，使得?若果存在，写出一个满足条件的数列；如果不存在，说明理由。

正确答案

见解析

解析

（1）0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A5。

（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A5）

（2）必要性：因为E数列A5是递增数列，

所以.

所以A5是首项为12，公差为1的等差数列.

所以a2000=12+（2000—1）×1=2011.

充分性，由于a2000—a1000≤1，

a2000—a1000≤1

……

a2—a1≤1

所以a2000—a≤19999，即a2000≤a1+1999.

又因为a1=12，a2000=2011, ∴a2000=a1+1999.

故是递增数列.

综上，结论得证。

（3）令

∵

……

∴

∵

∴为偶数,

∴要使为偶数,

即4整除.

当时，数列的项满足= =0，

时，有

当的项满足，

当不能被4整除，此时不存在E数

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