- 直线与圆锥曲线的综合问题
- 共150题
请你谈一谈对“不同生产方式以及生产工艺中,生产物流管理所采用的方法和手段是不同的。”这句话的理解。
正确答案
测试
在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1,记点M的轨迹为C。
(1)求轨迹C的方程;
(2)设斜率为k的直线l过定点P(﹣2,1),求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围。
正确答案
见解析。
解析
(1)设M(x,y),依题意得:|MF|=|x|+1,即,
化简得,y2=2|x|+2x。
∴点M的轨迹C的方程为;
(2)在点M的轨迹C中,记C1:y2=4x(x≥0),C2:y=0(x<0)。
依题意,可设直线l的方程为y﹣1=k(x+2)。
由方程组,可得ky2﹣4y+4(2k+1)=0。
①当k=0时,此时y=1,把y=1代入轨迹C的方程,得。
故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点()。
②当k≠0时,方程ky2﹣4y+4(2k+1)=0的判别式为△=﹣16(2k2+k﹣1)。
设直线l与x轴的交点为(x0,0),
则由y﹣1=k(x+2),取y=0得。
若,解得k<﹣1或k>
。
即当k∈时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点,
故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点。
若或
,解得k=﹣1或k=
或
。
即当k=﹣1或k=时,直线l与C1只有一个公共点,与C2有一个公共点。
当时,直线l与C1有两个公共点,与C2无公共点。
故当k=﹣1或k=或
时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点。
若,解得﹣1<k<﹣
或0<k<
。
即当﹣1<k<﹣或0<k<
时,直线l与C1有两个公共点,与C2有一个公共点。
此时直线l与C恰有三个公共点。
综上,当k∈∪{0}时,直线l与C恰有一个公共点;
当k∪{﹣1,
}时,直线l与C恰有两个公共点;
当k∈时,直线l与轨迹C恰有三个公共点。
知识点
过点C(0,1)的椭圆的离心率为
,椭圆与x轴交于两点
、
,过点C的直线l与椭圆交于另一点D,并与x轴交于点P,直线AC与直线BD交于点Q。
(1)当直线l过椭圆右焦点时,求线段CD的长;
(2)当点P异于点B时,求证:为定值。
正确答案
见解析
解析
(1)由已知得,解得
,所以椭圆方程为
。
椭圆的右焦点为,此时直线
的方程为
,代入椭圆方程得
,解得
,代入直线
的方程得
,所以
,
故。
(2)当直线与
轴垂直时与题意不符。
设直线的方程为
,代入椭圆方程得
。
解得,代入直线
的方程得
,
所以D点的坐标为。
又直线AC的方程为,又直线BD的方程为
,联立得
因此,又
。
所以。
故为定值。
知识点
如图,动点与两定点
、
构成
,且直线
的斜率之积为4,设动点
的轨迹为
。
(1)求轨迹的方程;
(2)设直线与
轴交于点
,与轨迹
相交于点
,且
,求
的取值范围。
正确答案
(1)C的方程为4x2-y2-4=0(x≠1且x≠-1)
(2)
解析
(1)设M的坐标为(x,y),当x=-1时,直线MA的斜率不存在;当x=1时,直线MB的斜率不存在。
于是x≠1且x≠-1.此时,MA的斜率为,MB的斜率为
.
由题意,有·
=4
化简可得,4x2-y2-4=0
故动点M的轨迹C的方程为4x2-y2-4=0(x≠1且x≠-1)
(2)由消去y,可得3x2-2mx-m2-4=0. (﹡)
对于方程(﹡),其判别式=(-2m)2-4×3(-m2-4)=16m2+48>0
而当1或-1为方程(*)的根时,m的值为-1或1.
结合题设(m>0)可知,m>0,且m≠1
设Q、R的坐标分别为(XQ,YQ),(XR,YR),则为方程(*)的两根.
因为,所以
,
所以。
此时
所以
所以
综上所述,
知识点
已知椭圆C:.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)设O为原点,若点A在直线,点B在椭圆C上,且
,求线段AB长度的最小值.
正确答案
(1)。
(2)长度的最小值为
。
解析
(1)由题意,椭圆的标准方程为
。
所以,
,从而
。
因此,
,故椭圆
的离心率
。
(2)设点,
的坐标分别为
,
,其中
。
因为,
所以,
即,解得
。
又,所以
。
因为,且当
时等号成立,所以
。
故线段长度的最小值为
。
知识点
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