直线与圆锥曲线的综合问题
共150题

· 直线与圆锥曲线的综合问题

直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：简答题

简答题 · 14 分

已知直线经过椭圆的左顶点和上顶点，椭圆的右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线,与直线分别交于两点。

（1）求椭圆的方程；

（2）(ⅰ) 设直线,的斜率分别为，求证为定值；

(ⅱ)求线段的长度的最小值。

正确答案

见解析

解析

（1）.椭圆的方程为. ………3分

（2）(ⅰ)设点的坐标为，

∴ ………5分

∵点在椭圆上，∴，∴

∴ ………7分

(ⅱ) 设直线的方程为，

则且 ………9分

∵

∴ 直线的方程为 ………10分

∴， ………11分

故， ………12分

∴， …………13分

当且仅当，即时等号成立，

∴时，线段的长度取得最小值为. …………14分

知识点

椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线的定点、定值问题

题型：单选题

单选题 · 5 分

如图，已知直线l：y=k(x+1)(k>0)与抛物线C：y2=4x相交于A、B两点，且A、B两

点在抛物线C准线上的射影分别是M、N，若|AM|=2|BN|，则k的值是

正确答案

解析

略

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线与圆锥曲线的综合问题

题型：简答题

简答题 · 14 分

在平面直角坐标，直线经过椭圆的一个焦点，且点(0,b)到直线l的距离为2

（1）求椭圆E的方程；

（2）A、B、C是椭圆上的三个动点A与B关于原点对称，且｜AC｜＝｜CB｜，问△ABC

的面积是否存在最小值？若存在，求此时点C的坐标；若不存在，说明理由。

正确答案

见解析。

解析

知识点

椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的探索性问题

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知椭圆的两个焦点分别为和,离心率。

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线（）与椭圆交于不同的两点、，且线段的垂直平分线过定点，求实数的取值范围。

正确答案

（1）

（2）

解析

（1）由已知椭圆的焦点在轴上，，，

，，————2分

椭圆的方程为————4分

（2），消去得————6分

直线与椭圆有两个交点，，可得（*）————8分

设，

，中点的横坐标

中点的纵坐标————10分

的中点

设中垂线的方程为：

在上，点坐标代入的方程可得（**）————12分

将（*）代入解得或，

————14分

知识点

椭圆的定义及标准方程直线与椭圆的位置关系直线与圆锥曲线的综合问题

题型：简答题

简答题 · 14 分

在圆上任取一点，设点在轴上的正投影为点，当点在圆上运动时，动点满足，动点形成的轨迹为曲线。

（1）求曲线的方程；

（2）已知点，若是曲线上的两个动点，且满足，求的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

（1）解法1：由知点为线段的中点。

设点的坐标是，则点的坐标是。

因为点在圆上，

所以。

所以曲线的方程为。

解法2：设点的坐标是，点的坐标是，

由得，，。

因为点在圆上，

所以。 ①

把，代入方程①，得。

所以曲线的方程为。

（2）解：因为，所以。

所以。

设点，则，即。

所以

。

因为点在曲线上，所以。

所以。

所以的取值范围为。

知识点

平面向量数量积的运算向量在几何中的应用直线与圆锥曲线的综合问题相关点法求轨迹方程

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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