直线与圆锥曲线的综合问题
共150题

· 直线与圆锥曲线的综合问题

直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：简答题

简答题 · 14 分

如图，在平面直角坐标系xOy中，分别是椭圆的左、右焦点，顶点B的坐标为，连结并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结。

（1）若点C的坐标为，且，求椭圆的方程；

（2）若，求椭圆离心率e的值。

正确答案

见解析。

解析

（1）∵，∴

∵，∴，∴

∴椭圆方程为

（2）设焦点

∵关于x轴对称，∴

∵三点共线，∴，即①

∵，∴，即②

①②联立方程组，解得 ∴

∵C在椭圆上，∴，

化简得，∴, 故离心率为

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质直线与圆锥曲线的综合问题

题型：简答题

简答题 · 13 分

已知直角坐标平面内一动点到点的距离与直线的距离相等。

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过点（）作斜率为的直线与曲线相交于两点，若为钝角，求实数的取值范围；

（3）过点（）作直线与曲线相交于两点，问：是否存在一条垂直于轴的直线与以线段为直径的圆始终相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

正确答案

见解析

解析

（1）由抛物线的定义，知所求P点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，其方程为，其中，。

所以，动点P的轨迹C的方程为，………………………………………4分

（2）由题意知，直线AB的方程为。

代入，得。

设，则。

为钝角，。

又，，

。

即，

。

因此，

。

综上，实数的取值范围是，…………………8分

（3）设过点的直线方程为，代入，得

，设，则，。

于是。

的中点坐标为。

又

。

设存在直线满足条件，则。

化简，得。

所以，对任意的恒成立，

所以解得，。

所以，当时，存在直线与以线段为直径的圆始终相切，……13分

知识点

直线与圆锥曲线的综合问题直接法求轨迹方程圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线中的探索性问题

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为。

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点，交轴于点，若，，求的值。

正确答案

（1）（2）-10

解析

(1)解：设椭圆C的方程为（a＞＞），

抛物线方程化为，其焦点为， . ……………2分

则椭圆C的一个顶点为，即；由，∴，

所以椭圆C的标准方程为 ……………5分

(2)证明：易求出椭圆C的右焦点 ……………6分

设，显然直线的斜率存在，

设直线的方程为，代入方程并整理，

得 …………… 7分

∴， ……………8分

又，，，，，

而，，

即，

∴，， ……………10分

所以 ……………12分

知识点

向量在几何中的应用椭圆的定义及标准方程抛物线的标准方程和几何性质直线与圆锥曲线的综合问题

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知椭圆：（）的右焦点，右顶点,且。

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若动直线：与椭圆有且只有一个交点，且与直线交于点,问：是否存在一个定点,使得.若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.

正确答案

见解析

解析

由，，

椭圆C的标准方程为

得：，

,,即P.

又Q，，，

+=恒成立，故，即. 存在点M（1,0）适合题意.

知识点

数量积判断两个平面向量的垂直关系椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的探索性问题

题型：简答题

简答题 · 12 分

椭圆的离心率为，右焦点到直线的距离为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过作直线交椭圆于两点，交轴于点,满足,求直线的方程.

正确答案

（1）

（2）y=x-1或y=-x-1

解析

（1）设右焦点为，则，，或(舍去)(2分)

又离心率，，，，

故椭圆方程为. (4分)

（2）设，，，因为，所以，① (6分)

易知当直线的斜率不存在或斜率为0时，①不成立，

于是设的方程为，联立消得 ② (8分)

因为，所以直线与椭圆相交，

于是③，④，

由①③得，，代入④整理得，，

所以直线的方程是或. (12分)

知识点

向量在几何中的应用直线的一般式方程椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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