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题型:简答题
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简答题 · 12 分

根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立。

(1)求该地1为车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率;

(2)X表示该地的100为车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数,求X的期望。

正确答案

见解析。

解析

设该车主购买乙种保险的概率为p,由题意知:,解得

(1)设所求概率为P1,则.

故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8。

(2)对每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为

所以X的期望是20人。

知识点

计数原理的应用
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题型:填空题
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填空题 · 5 分

5名志愿者到3个不同的地方参加义务植树,则每个地方至少有一名志愿者的方案共有________种。

正确答案

150

解析

知识点

计数原理的应用
1
题型:简答题
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简答题 · 16 分

已知函数其中e是自然对数的底数。

(1)证明:上的偶函数;

(2)若关于x的不等式上恒成立,求实数m的取值范围;

(3)已知正数a满足:存在,使得成立,试比较的大小,并证明你的结论。

正确答案

见解析。

解析

本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基础知识,考查综合运用数学思想

方法分析与解决问题的能力。

(1),∴上的偶函数

(2)由题意,,即

,∴,即恒成立

,则对任意恒成立

,当且仅当时等号成立

(3),当,∴上单调增

,∴,即上单调减

∵存在,使得,∴,即

,则

时,单调增;

时,单调减

因此至多有两个零点,而

∴当时,

时,

时,

知识点

计数原理的应用
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题型:简答题
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简答题 · 13 分

某公园设有自行车租车点, 租车的收费标准是每小时2元(不足1小时的部分按1小时计算).甲、乙两人各租一辆自行车,若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为;一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为;两人租车时间都不会超过三小时。

(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率;

(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量,求的分布列与数学期望.

正确答案

见解析

解析

(1)甲、乙两人所付费用相同即为元.

元的概率为

都付元的概率为

都付元的概率为

故所付费用相同的概率为.

(2)依题意的可能取值为.

;                        

;   

.

的分布列为

                                                          

所求数学期望.

知识点

计数原理的应用
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

某水域一艘装载浓硫酸的货船发生侧翻,导致浓硫酸泄漏,对河水造成了污染.为减少对环境的影响,环保部门迅速反应,及时向污染河道投入固体碱,个单位的固体碱在水中逐渐溶化,水中的碱浓度与时间(小时)的关系可近似地表示为:,只有当污染河道水中碱的浓度不低于时,才能对污染产生有效的抑制作用。

(1)如果只投放1个单位的固体碱,则能够维持有效的抑制作用的时间有多长?

(2)第一次投放1单位固体碱后,当污染河道水中的碱浓度减少到时,马上再投放1个单位的固体碱,设第二次投放后水中碱浓度为,求的函数式及水中碱浓度的最大值.(此时水中碱浓度为两次投放的浓度的累加)

正确答案

见解析。

解析

(1)由题意知

解得,即

能够维持有效的抑制作用的时间:小时.

(2)由(1)知,时第二次投入1单位固体碱,显然的定义域为

时,第一次投放1单位固体碱还有残留,故=+=;

时,第一次投放1单位固体碱已无残留,故

时,  =;

时,  ;

所以

时, ==;

当且仅当时取“=”,即(函数值与自变量值各1分)

时,第一次投放1单位固体碱已无残留,

时, ,所以为增函数;

时,为减函数;故 =

,所以当时,水中碱浓度的最大值为.

答:第一次投放1单位固体碱能够维持有效的抑制作用的时间为3小时;第一次投放小时后, 水中碱浓度的达到最大值为.

知识点

计数原理的应用
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