等比数列_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 16 分

在数列，中，已知，，且，，成等差数列，，，也成等差数列。

（1）求证：是等比数列；

（2）设是不超过100的正整数，求使成立的所有数对。

正确答案

见解析。

解析

（1）由，，成等差数列可得，，①

由，，成等差数列可得，， ②

①②得，，

所以是以6为首项、为公比的等比数列，

（2）由（1）知，，③

①②得，， ④

③④得，，

代入，得，

所以，

整理得，，

所以，

由是不超过100的正整数，可得，

所以或，

当时，，此时，则，符合题意；

当时，，此时，则，符合题意。

故使成立的所有数对为，。

知识点

等比数列的性质及应用

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

函数,在各项均为正数的数列中对任意的都有成立，则数列的通项公式为______

正确答案

解析

,由得为对称轴,所以数列是以公差为的等差数列.故,

知识点

等比数列的性质及应用

1

题型：简答题

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简答题 · 16 分

已知数列，满足，，，。

（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；

（2）设数列满足，对于任意给定的正整数，是否存在正整数，()，使得，，成等差数列？若存在，试用表示，；若不存在，说明理由。

正确答案

见解析。

解析

（1）因为，所以，

则，

所以，

又，所以，故是首项为，公差为的等差数列，

即，所以。

（2）由（1）知，所以，

①当时，，，，

若，，成等差数列，则（），

因为，所以，，，，

所以（）不成立。

②当时，若，，成等差数列，

则，所以，

即，所以，

欲满足题设条件，只需，此时，

因为，所以，，

即。

综上所述，当时，不存在，满足题设条件；

当时，存在，，满足题设条件。

知识点

等比数列的性质及应用

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知实数a、b、c、d成等比数列，且函数时取到极大值c，则ad等于

A—1

B0

C1

D2

正确答案

A

解析

y′＝－1，令y′＝0得x＝－1，当－2<x<－1时，y′>0，当x>－1时，y′<0，∴b＝－1，c＝ln（－1＋2）－（－1）＝1，∴ad＝bc＝－1，故选A

知识点

利用导数求函数的极值等比数列的性质及应用

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

在数列中，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：数列是等差数列；

（3）设数列，求的前项和.

正确答案

见解析。

解析

（1）,∴数列是首项为，公比为的等比数列，

∴.…………………………………………………………………3分

（2） ………………………………………………………………4分

∴.………………………………………………………6分

∴，公差

∴数列是首项，公差的等差数列. ………………………………7分

（3）由（1）知，,

∴ ……………………………………………………8分

∴

……………………………10分

…………………………12分

知识点

等比数列的性质及应用

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

若等比数列{an}满足am﹣3=4且（m∈N*且m＞4），则a1a5的值为　　。

正确答案

16

解析

∵数列{an}为等比数列，amam﹣4=（m∈N*且m＞4），

∴m﹣4，4，m成等差数列，

∴m+（m﹣4）=8，

解得：m=6。

∴am﹣3=a3=4。

又a1，a3，a5成等比数列，

∴a1a5==16。

知识点

等比数列的性质及应用

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知集合,，设是等差数列的前项和,若的任一项,且首项是中的最大数, .

（1）求数列的通项公式;

（2）若数列满足，求的值。

正确答案

见解析。

解析

（1）由题设知: 集合中所有元素可以组成以为首项,为公差的递减等差数列；集合中所有的元素可以组成以为首项,为公差的递减等差数列。

由此可得,对任意的,有

中的最大数为,即 …………………………………………………3分

设等差数列的公差为,则,

因为, ,即

由于中所有的元素可以组成以为首项,为公差的递减等差数列,

所以,由，所以

所以数列的通项公式为（） …………………………………8分

（2）…………………………………………………………9分

于是有

…………………………12分

知识点

等比数列的性质及应用

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知数列满足且对一切,

有

（1）求证：对一切

（2）求数列通项公式。

（3）求证：

正确答案

见解析。

解析

（1）证明: ………. ①

…………②

② - ①：

()

（2）解：由及

两式相减,得:

∴.

（3）证明: ∵

∴

知识点

等比数列的性质及应用

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a，b，c，已知

（1）求的值；

（2）若，求边c的值.

正确答案

见解析。

解析

（1）由及正弦定理得

即4分

又所以有即

而，所以………………………………………………6分

（2）由及0＜A＜，得A＝

因此

由得

即，即得………………8分

由知于是或

所以，或…………………………………………………………10分

若则在直角△ABC中，，解得

若在直角△ABC中，解得……………………12分

知识点

等比数列的性质及应用

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知等差数列｛an｝中，a3＝－4，a1＋a10＝2，

（1）求数列｛an｝的通项公式；

（2）若数列｛bn｝满足an＝log3bn，设Tn＝b1·b2……bn，当n为何值时，Tn＞1。

正确答案

见解析。

解析

（1）设数列｛an｝的公差为d，则，

解之得，

（2）

知识点

等比数列的性质及应用

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