- 古典概型
- 共2558题
抛掷2颗质地均匀的骰子，求向上点数和是8的概率．
正确答案
解：在抛掷2颗骰子的试验中，每颗骰子均可出现1点，2点…，6点6种不同的结果，我们把两颗骰子标上记号1，2以便区分，因此同时掷两颗骰子的结果共有6×6=36，（6分）
在上面的所有结果中，向上的点数之和为8的结果有（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），共5种，所以，所求事件的概率为
解析
解：在抛掷2颗骰子的试验中，每颗骰子均可出现1点，2点…，6点6种不同的结果，我们把两颗骰子标上记号1，2以便区分，因此同时掷两颗骰子的结果共有6×6=36，（6分）
在上面的所有结果中，向上的点数之和为8的结果有（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），共5种，所以，所求事件的概率为
设集合A={1，2，…，n}，B={n+1，n+2，…，2n}，（n∈N*且n≥2），现将集合A和B分别作为总体，从这两个总体中各随机抽取2个元素构成样本，记Pij表示元素i和j同时出现在样本中的概率．当1≤i≤n≤j≤2n时，Pij=______；当1≤i＜j≤2n，且i、j不在同一总体中时，所有Pij的和为______．
正确答案
4
解析
解：从总体A中随机抽取2个元素，有
从总体B中随机抽取2个元素，有
∴从这两个总体中各随机抽取2个元素构成样本，样本容量为：
元素i在样本中的抽法有
∴元素i和j同时出现在样本中的抽法共有
由古典概型概率公式得，元素i和j同时出现在样本中的概率Pij=
∵i可以是集合A中的任意一个元素，j可以是集合B中的任意一个元素，
∴满足1≤i＜j≤2n的所有Pij的和为n•n
故答案为：
在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小球被取出的可能性相等．
（Ⅰ）求取出的两个球上标号恰好相同的概率；
（Ⅱ）求取出的两个球上的标号至少有一个大于2的概率．
正确答案
解：利用树状图可以列出从甲、乙两个盒子中各取出1个球的所有可能结果：
可以看出，试验的所有可能结果数为16种且每种结果是等可能的．
（Ⅰ）所取两个小球上的标号为相同整数的结果
有1-1，2-2，3-3，4-4，共4种．
故根据古典概型公式，所求概率
答：取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为
（Ⅱ）记事件“取出的两个球上的标号至少有一个大于2”为A
则A的对立事件是
所取出的两个球上的标号都不大于3的结果有1-1，1-2，2-1，2-2，
共4种．（10分）
答：取出的两个球上的标号至少有一个大于3的概率为
（注：利用列表或列数对的方法求解以及II直接列出A的结果，仿照上述解法给分）
解析
解：利用树状图可以列出从甲、乙两个盒子中各取出1个球的所有可能结果：
可以看出，试验的所有可能结果数为16种且每种结果是等可能的．
（Ⅰ）所取两个小球上的标号为相同整数的结果
有1-1，2-2，3-3，4-4，共4种．
故根据古典概型公式，所求概率
答：取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为
（Ⅱ）记事件“取出的两个球上的标号至少有一个大于2”为A
则A的对立事件是
所取出的两个球上的标号都不大于3的结果有1-1，1-2，2-1，2-2，
共4种．（10分）
答：取出的两个球上的标号至少有一个大于3的概率为
（注：利用列表或列数对的方法求解以及II直接列出A的结果，仿照上述解法给分）
已知m，n为正整数，3m+n=20，则m＞n的概率为______．
正确答案
解析
解：已知m，n为正整数，3m+n=20，则所有的（m，n）共有：（1，17）、（2，14）、（3，11）、（4，8）、（5，5）、（6，2），共计6个，
其中满足m＞n的只有1个，故m＞n的概率为 
故答案为 
从1、2、3、4、5中任取三个数，则这三个数能构成三角形的概率是______．
正确答案
解析
解：所有的取法共有
故这三个数能构成三角形的概率是 
故答案为 
为了整顿食品的安全卫生，食品监督部门对某食品厂生产的甲、乙两种食品进行了检测调研，检测某种有害微量元素的含量，随机在两种食品中各抽取了10个批次的食品，每个批次各随机地抽取了一件，卞表是测量数据的茎叶图（单位：毫克）
规定：当食品中的有害微量元素含量在[0，10]时为一等品，在（10，20]为二等品，20以上为劣质品．
（1）分别求出甲、乙两种食品该有害微量元素含量的样本平均数，并据此判定哪种食品的质量较好；
（2）若用分层抽样的方法，分别在两组数据中各抽取5个数据，分别求出甲、乙两种食品一等品的件数；
（3）在（2）的条件下，从甲组5个数据中随机抽取2个，求恰有一件一等品的概率．
正确答案
解：（1）根据平均数的定义，
则
由于
（2）甲种食品一等品的件数为4×
乙种食品一等品的件数为6×
（3）设甲组中的两件一等品为A，B，非一等品为c，d，e，
则从这5个数据中随机抽取2个，所有可能的结果为：
AB，Ac，Ad，Ae，Bc，Bd，Be，cd，ce，de，共10种，
其中恰有一件一等品的情况有6种，
故恰有一件一等品的概率为P=
解析
解：（1）根据平均数的定义，
则
由于
（2）甲种食品一等品的件数为4×
乙种食品一等品的件数为6×
（3）设甲组中的两件一等品为A，B，非一等品为c，d，e，
则从这5个数据中随机抽取2个，所有可能的结果为：
AB，Ac，Ad，Ae，Bc，Bd，Be，cd，ce，de，共10种，
其中恰有一件一等品的情况有6种，
故恰有一件一等品的概率为P=
芜湖市区甲、乙、丙三所学校的高三文科学生共有800人，其中男、女生人数如下表：
从这三所学校的所有高三文科学生中随机抽取1人，抽到乙校高三文科女生的概率为0.2．
（Ⅰ）求表中x+z的值；
（Ⅱ）钦州市五月份模考后，市教科所准备从这三所工作的所有高三文科学生中利用随机数表法抽取100人进行成绩统计分析，先将800人按001，002，…，800进行编号．如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3个人的编号；（下面摘取了随机数表中第7行至第9行）
8442 1753 3157 2455 0688 7704 7447 6721 7633 5026 8392
6301 5316 5916 9275 3816 5821 7071 7512 8673 5807 4439
1326 3321 1342 7864 1607 8252 0744 3815 0324 4299 7931
（Ⅲ）已知x≥145，z≥145，求丙校高三文科生中的男生比女生人数多的概率．
正确答案
解：（Ⅰ）∵在三所高中的所有高三文科学生中随机抽取1人，抽到乙高中女生的概率为0.2，
∴y=800×0.2=160，则x+z=800-（97+153+90+160）=300，
（Ⅱ）从第8行第7列的数开始向右读，最先检测的3个人的编号为165、538、629；
（3）设：“丙校高三文科生中的男生比女生人数多”为事件A，其中男女生数即为（x，z）
由（Ⅰ）知，x+z=300，x≥145，z≥145，
满足条件的（x，z）有（145，155），（146，154），（147，153），（148，152），（149，131），（150，150），（151，149），（152，148），（153，147），（154，146），（155，145）共11组，且每组出现的可能性相同，
其中事件A包含的基本事件有（151，149），（152，148），（153，147），（154，146），（155，145），共5组，
∴丙高中学校中的女生比男生人数多的概率为P（A）=
解析
解：（Ⅰ）∵在三所高中的所有高三文科学生中随机抽取1人，抽到乙高中女生的概率为0.2，
∴y=800×0.2=160，则x+z=800-（97+153+90+160）=300，
（Ⅱ）从第8行第7列的数开始向右读，最先检测的3个人的编号为165、538、629；
（3）设：“丙校高三文科生中的男生比女生人数多”为事件A，其中男女生数即为（x，z）
由（Ⅰ）知，x+z=300，x≥145，z≥145，
满足条件的（x，z）有（145，155），（146，154），（147，153），（148，152），（149，131），（150，150），（151，149），（152，148），（153，147），（154，146），（155，145）共11组，且每组出现的可能性相同，
其中事件A包含的基本事件有（151，149），（152，148），（153，147），（154，146），（155，145），共5组，
∴丙高中学校中的女生比男生人数多的概率为P（A）=
某公司生产A、B两类产品，每类产品均有一般品和优等品两种，某月的产量如下表：
按分层抽样的方法在该月生产的产品中抽取50个，其中A类20个．
（Ⅰ）求x的值；
（Ⅱ）用分层抽样的方法在B类中抽取一个容量为6个的样本，从样本中任意取2个，求至少有一个优等品的概率．
正确答案
解：（Ⅰ）由每个个体被抽到的概率都相等，可得 
解得x=200． …（4分）
（Ⅱ）抽取容量为6的样本，由于优等品所占的比例为
则抽出的产品中，优等品为 6×
从样本中任意取2个，所有的取法种数为 
故没有优等品的概率为 
所以至少有一个优等品的概率是 1-
解析
解：（Ⅰ）由每个个体被抽到的概率都相等，可得
解得x=200． …（4分）
（Ⅱ）抽取容量为6的样本，由于优等品所占的比例为
则抽出的产品中，优等品为 6×
从样本中任意取2个，所有的取法种数为
故没有优等品的概率为
所以至少有一个优等品的概率是 1-
（Ⅰ）若教师年龄分布的极差为15，求教师的平均年龄；
（Ⅱ）若选出的3人中有2名男教师1名女教师，将他们分配到两所学校，每校至少有一人，则2名男教师分在同一所学校的概率为多少？
正确答案
解：（1）极差为15，所以40+x-30=15，所以x=5----------------（2分）
（2）基本事件为：总数为6个---------------（7分）
2名男教师分在同一所学校所包含的基本事件的个数为2个----------------（9分）
2名男教师分在同一所学校的概率
解析
解：（1）极差为15，所以40+x-30=15，所以x=5----------------（2分）
（2）基本事件为：总数为6个---------------（7分）
2名男教师分在同一所学校所包含的基本事件的个数为2个----------------（9分）
2名男教师分在同一所学校的概率
为了解防震知识在中学生中的普及情况，某地震部门命制了一份满分为10分的问卷到红星中学做问卷调查．该校甲、乙两个班各被随机抽取5名学生接受问卷调查，甲班5名学生得分为5，8，9，9，9；乙班5名学生得分为6，7，8，9，10．
（Ⅰ）请你估计甲乙两个班中，哪个班的问卷得分更稳定一些；
（Ⅱ）如果把乙班5名学生的得分看成一个总体，并用简单随机抽样方法从中抽取样本容量为2的样本，求样本平均数与总体平均数之差的绝对值不小于1的概率．
正确答案
解：（Ⅰ）由题意可得甲班学生的平均分为
∴方差为
同理可得乙班的学生的平均分为8，方差为2．
∴乙班的问卷得分更稳定一些；
（Ⅱ）从乙班5名学生的得分中抽取样本容量为2的样本的
基本事件为（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），
（7，8），（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10）共10个，
其中样本平均数与总体平均数之差的绝对值不小于1的有（6，7），（6，8），（8，10），（9，10）共4个，
∴所求概率为
解析
解：（Ⅰ）由题意可得甲班学生的平均分为
∴方差为
同理可得乙班的学生的平均分为8，方差为2．
∴乙班的问卷得分更稳定一些；
（Ⅱ）从乙班5名学生的得分中抽取样本容量为2的样本的
基本事件为（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），
（7，8），（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10）共10个，
其中样本平均数与总体平均数之差的绝对值不小于1的有（6，7），（6，8），（8，10），（9，10）共4个，
∴所求概率为
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